1.下列命题中正确的是().

A.不全等的图形不是相似形
B.相似三角形是全等三角形
C.不相似图形可能是全等形
D.全等形是相似形

1.D

2.如图，在$\triangle ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$边上的点，$DE // BC$，$F$为$BC$边上一点，连接$AF$交$DE$于点$G$，则下列结论中一定正确的是().
A.$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{EC}$
B.$\frac{AG}{GF}=\frac{AE}{BD}$
C.$\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}$
D.$\frac{AG}{AF}=\frac{AC}{EC}$

2.C

证明：
∵ $DE // BC$，
∴ $\triangle ADE \sim \triangle ABC$（平行线分线段成比例定理推论），
∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，
∴ $\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，
两边同时减1得：$\frac{AB - AD}{AD} = \frac{AC - AE}{AE}$，
即 $\frac{BD}{AD} = \frac{CE}{AE}$。
结论：C选项正确。
$\boxed{C}$

3.如图，在等边三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在$AC$，$AB$上，且$AD:AC = 1:3$，$AE = BE$，则下列判断中正确的是().
A.$\triangle AED \backsim \triangle BED$
B.$\triangle AED \backsim \triangle CBD$
C.$\triangle AED \backsim \triangle ABD$
D.$\triangle BAD \backsim \triangle BCD$

3.B

证明：设等边$\triangle ABC$的边长为$3a$，则$AC=BC=AB=3a$，$\angle A=\angle ABC=\angle C=60°$。
$\because AD:AC=1:3$，$\therefore AD=a$，$DC=AC-AD=2a$。
$\because AE=BE$，$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}a$。
在$\triangle AED$和$\triangle CBD$中：
$\frac{AE}{CB}=\frac{\frac{3}{2}a}{3a}=\frac{1}{2}$，
$\frac{AD}{CD}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$，
$\angle A=\angle C=60°$，
$\therefore \triangle AED \backsim \triangle CBD$（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
结论：B

4.如图，在矩形$ABCD$中，点$E$在$AB$边上，把$\triangle BCE$沿直线$CE$对折，使点$B$落在对角线$AC$上的点$F$处，连接$DF$.若点$E$，$F$，$D$在同一条直线上，$AE = 2$，则$DF =$，$BE =$.

4.2 $\sqrt{5}-1$

解：设$BE = x$，则$AB = AE + BE = 2 + x$。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AD = BC$，$\angle DAB = \angle B = 90°$。
由折叠性质得：$CF = BC$，$EF = BE = x$，$\angle CFE = \angle B = 90°$，所以$\angle CFD = 90°$。
因为点$E$，$F$，$D$在同一条直线上，所以$DE = DF + EF = DF + x$。
易证$\triangle AFD \sim \triangle CFE$，则$\frac{AF}{CF} = \frac{DF}{EF}$。
设$AD = BC = CF = y$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2 + x)^2 + y^2}$，所以$AF = AC - CF = \sqrt{(2 + x)^2 + y^2} - y$。
又因为$\triangle ADE \sim \triangle CDF$，可得$\frac{AD}{CD} = \frac{AE}{DF}$，即$\frac{y}{2 + x} = \frac{2}{DF}$，所以$DF = \frac{2(2 + x)}{y}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$DE^2 = AD^2 + AE^2$，即$(DF + x)^2 = y^2 + 4$。
联立方程解得$DF = 2$，$x = \sqrt{5} - 1$。
故$DF = 2$，$BE = \sqrt{5} - 1$。

5.如图，在直线$l$上摆放着三个等边三角形：$\triangle ABC$，$\triangle HFG$，$\triangle DCE$.已知$BC = \frac{1}{2}CE$，$F$，$G$分别是$BC$，$CE$的中点，$FM // AC$，$GN // DC$.设图中三个平行四边形的面积依次是$S_1$，$S_2$，$S_3$，若$S_1 + S_3 = 10$，则$S_2 =$.

5.4

6.如图，在锐角三角形$ABC$中，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上，$AG \perp BC$于点$G$，$AF \perp DE$于点$F$，$\angle EAF = \angle GAC$.
(1)求证$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$.
(2)若$AD = 3$，$AB = 5$，求$\frac{AF}{AG}$的值.

6.(1)
∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AGC=∠AFE=90°.
∵∠EAF=∠GAC,
∴∠AED=∠ACB.
又
∵∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC.
(2)根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比,得$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$.