1. 已知等腰三角形的两边长分别为 $ 8 \mathrm{~cm} $ 和 $ 10 \mathrm{~cm} $,求该三角形的周长.

答题卡：
当腰长为$8\mathrm{cm}$时：
三角形的三边分别为$8\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}$，$10\mathrm{cm}$，
满足三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，
所以周长为：
$8 + 8 + 10 = 26（\mathrm{cm}）$。
当腰长为$10\mathrm{cm}$时：
三角形的三边分别为$10\mathrm{cm}$，$10\mathrm{cm}$，$8\mathrm{cm}$，
满足三角形三边关系，
所以周长为 ：
$10 + 10 + 8 = 28（\mathrm{cm}）$。
综上，该等腰三角形的周长为$26\mathrm{cm}$或$28\mathrm{cm}$。

2. 等腰三角形底边长为 $ 5 $,一腰上的中线把其周长分成差为 $ 3 $ 的两部分,求该等腰三角形的腰长.

情况一：腰长大于底边
设腰长为 $ x $，则腰长的一半为 $ \frac{x}{2} $。
由题意得：$ (x + \frac{x}{2}) - (5 + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ x - 5 = 3 $，解得 $ x = 8 $。
此时三边长为 $ 8, 8, 5 $，满足三角形三边关系（$ 8 + 5 ＞ 8 $，$ 8 + 8 ＞ 5 $）。
情况二：腰长小于底边
由题意得：$ (5 + \frac{x}{2}) - (x + \frac{x}{2}) = 3 $
化简得：$ 5 - x = 3 $，解得 $ x = 2 $。
此时三边长为 $ 2, 2, 5 $，因 $ 2 + 2 = 4 ＜ 5 $，不满足三角形三边关系，舍去。
结论：该等腰三角形的腰长为 $ 8 $。
$\boxed{8}$

3. (2025 昆明西山区期中)若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 $ 42^{\circ} $,则这个等腰三角形的顶角是().

A.$ 42^{\circ} $或 $ 138^{\circ} $
B.$ 48^{\circ} $或 $ 132^{\circ} $
C.$ 48^{\circ} $或 $ 138^{\circ} $
D.$ 42^{\circ} $或 $ 132^{\circ} $

B

分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部。设顶角为∠A，高与另一腰的夹角为42°，则在直角三角形中，∠A=90°-42°=48°；
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部。此时高与另一腰的夹角42°对应的锐角为90°-42°=48°，顶角为180°-48°=132°。
综上，顶角为48°或132°。

4. 在三角形 $ A B C $ 中,$ A B=A C $,边 $ A B $ 上的垂直平分线与 $ A C $ 所在的直线相交所得的锐角为 $ 40^{\circ} $,求 $ \angle B $ 的度数.

65°或25°

情况一：AB的垂直平分线与AC边相交
设AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E。
∵DE垂直平分AB，∴∠ADE=90°。
∵∠AED=40°（锐角），
∴在Rt△ADE中，∠A=180°-90°-40°=50°。
∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∴∠B=(180°-∠A)/2=(180°-50°)/2=65°。
情况二：AB的垂直平分线与CA的延长线相交
设AB的垂直平分线交AB于D，交CA延长线于E。
∵DE垂直平分AB，∴∠ADE=90°。
∵∠AED=40°（锐角），
∴在Rt△ADE中，∠EAD=180°-90°-40°=50°。
∴∠BAC=180°-∠EAD=130°。
∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∴∠B=(180°-∠BAC)/2=(180°-130°)/2=25°。
综上，∠B的度数为65°或25°。