【例题】如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B= ∠ACD.

(1)请再写出图中另外一对相等的角;
(2)若AC= 6,BC= 9,试求梯形ABCD的中位线的长.
【思路点拨】由AD//BC,可得∠DAC= ∠ACB,易证△ABC∽△DCA.即可求出AD,从而求出中位线的长.
【解答】
【学法点睛】运用相似三角形的判定定理1:"两角对应相等的两个三角形相似",即在△ABC和△A'B'C'中,如果∠A= ∠A',∠B= ∠B',那么△ABC∽△A'B'C'.运用时要注意相等的角的顶点是对应顶点,用"∽"连接时,对应顶点一定要写在对应位置上.
特别地,对于两个直角三角形.我们还可以用"HL"定理判定它们相似.

(1)∠DAC=∠ACB；(2)13/2。

(1) ∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等），故图中另一对相等的角为∠DAC=∠ACB。
(2) 在△ABC和△DCA中，∵∠B=∠ACD（已知），∠ACB=∠DAC（已证），∴△ABC∽△DCA（两角对应相等的两个三角形相似）。
∵△ABC∽△DCA，∴BC/DA=AC/CA（相似三角形对应边成比例）。
∵AC=6，BC=9，CA=AC=6，∴9/DA=6/6，解得DA=4。
∵梯形中位线长=（上底+下底）/2，AD=4，BC=9，∴中位线长=(4+9)/2=13/2。

1. 下列图形中可能不相似的是 ()
A.各有一个角是45°的两个等腰三角形
B.各有一个角是60°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.各有一个角为120°的两个等腰三角形

A

A. 对于各有一个角是$45^\circ$的两个等腰三角形，这个$45^\circ$的角可能是顶角，也可能是底角。如果它是顶角，那么底角为$(180^\circ - 45^\circ) ÷ 2 = 67.5^\circ$；如果它是底角，那么顶角为$180^\circ - 2 × 45^\circ = 90^\circ$。由于存在两种可能性，所以这两个三角形不一定相似。
B. 对于各有一个角是$60^\circ$的两个等腰三角形，由于等腰三角形的两个底角相等，若其中一个角是$60^\circ$，则它是等边三角形，三个角都是$60^\circ$，所以这两个三角形一定相似。
C. 对于两个等腰直角三角形，它们的两个底角都是$45^\circ$，顶角都是$90^\circ$，所以这两个三角形一定相似。
D. 对于各有一个角为$120^\circ$的两个等腰三角形，这个角只能是顶角（因为底角不可能大于$90^\circ$），所以底角为$(180^\circ - 120^\circ) ÷ 2 = 30^\circ$，这两个三角形一定相似。

2. 如图①,在△ABC中,D为AC边上一点,∠DBC= ∠A,BC= $\sqrt{6}$,AC= 3,则CD的长为 ()

A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$

C

因为在$\bigtriangleup ABC$和$\bigtriangleup BDC$中，$\angle DBC=\angle A$，$\angle C=\angle C$。
根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两个三角形相似。
所以$\bigtriangleup ABC\sim\bigtriangleup BDC$。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例。
则有$\frac{CD}{BC}=\frac{BC}{AC}$。
已知$BC = \sqrt{6}$，$AC = 3$，代入可得$\frac{CD}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。
交叉相乘得$CD=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{6}}{3}=\frac{6}{3}=2$。

3. 如图②,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠B= 90°,E为AB上一点,且ED平分∠ADC,EC平分∠BCD,则下列结论中:①∠ADE= ∠CDE;②DE⊥EC;③AD·BC= BE·DE;④CD= AD+BC.正确的有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

①
∵ED平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，①正确。
②
∵AD//BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°。
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠ADC=2∠CDE，∠BCD=2∠DCE。
∴2∠CDE+2∠DCE=180°，即∠CDE+∠DCE=90°。在△DEC中，∠DEC=180°-(∠CDE+∠DCE)=90°，
∴DE⊥EC，②正确。
③
∵∠A=∠B=90°，∠DEC=90°，
∴∠AED+∠CEB=90°。又∠AED+∠ADE=90°，∠CEB+∠BCE=90°，
∴∠ADE=∠CEB，∠AED=∠BCE。
∴△ADE∽△BEC。
∴AD/BE=AE/BC，即AD·BC=BE·AE。
∵AE≠DE（Rt△ADE中DE＞AE），
∴AD·BC≠BE·DE，③错误。
④过E作EF⊥CD于F。
∵ED平分∠ADC，EA⊥AD，EF⊥CD，
∴EA=EF。同理EB=EF，
∴EA=EB=EF。
∵Rt△ADE≌Rt△FDE（HL），Rt△BCE≌Rt△FCE（HL），
∴AD=FD，BC=FC。
∴CD=FD+FC=AD+BC，④正确。
正确的有①②④，共3个。
C

4. 如图,在△ABC中,∠ABC= 90°,E为AB延长线上一点,EF⊥AC于点F,交BC于D,BG⊥AC于点G,则图中与△CDF相似的三角形有(不含△CDF) ()

A.3个
B.4个
C.5个
D.6个

D

要确定与△CDF相似的三角形（不含△CDF），需利用相似三角形的判定定理（AA，即两角对应相等）。△CDF为直角三角形（∠CFD=90°），故需寻找含直角且有一锐角与△CDF对应相等的三角形。
关键分析：
1. △ABC：
∠ABC=90°=∠CFD，∠C为公共角，由AA得△ABC∽△CDF。
2. △BGC：
BG⊥AC，∠BGC=90°=∠CFD，∠C为公共角，由AA得△BGC∽△CDF。
3. △AGB：
BG⊥AC，∠AGB=90°=∠CFD；∠ABG=∠C（均为∠A的余角），由AA得△AGB∽△CDF。
4. △AFE：
EF⊥AC，∠AFE=90°=∠CFD；∠E=∠C（均为∠A的余角），由AA得△AFE∽△CDF。
5. △EBD：
E在AB延长线上，∠EBD=90°=∠CFD；∠EDB=∠CDF（对顶角），由AA得△EBD∽△CDF。
6. △BGD：
BG⊥AC，∠BGD=90°=∠CFD；EF//BG（均⊥AC），∠CDF=∠DBG（同位角），由AA得△BGD∽△CDF。
结论：
共有6个三角形与△CDF相似。