6. 如图,已知点O是△ABC内一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点.求证:△ABC∽△DEF.

证明：
因为$D$，$E$，$F$分别是$OA$，$OB$，$OC$的中点，
根据三角形中位线定理，可得$DE$，$EF$，$DF$分别是$\triangle OAB$，$\triangle OBC$，$\triangle OAC$的中位线。
所以$\frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$。
根据相似三角形的判定定理（三边对应成比例的两个三角形相似），可得$\triangle ABC\sim\triangle DEF$。

7. 如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,点D是BC上一点,已知CD= 1,AD= $\sqrt{5}$,AB= 2$\sqrt{5}$.求证:Rt△ADC∽Rt△BAC.

在$Rt\bigtriangleup ADC$中
$AC = \sqrt{AD^{2} - CD^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2} - 1^{2}} = 2$
在$Rt\bigtriangleup ABC$中
$BC = \sqrt{AB^{2} - AC^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} - 2^{2}} = 4$
$\frac{CD}{AC} = \frac{1}{2}$，$\frac{AC}{BC} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
所以$\frac{CD}{AC} = \frac{AC}{BC}$
又$\angle C = \angle C$
所以$Rt\bigtriangleup ADC\sim Rt\bigtriangleup BAC$

8. 已知正方形的边长为1.
(1)如图①,可以算出一个正方形的对角线长是$\sqrt{2}$,则两个正方形并排成矩形的对角线长是多少呢?n个呢?

(2)如图②,求证:△BCE∽△BED.

(3)如图③,在下列所给的三个结论中,通过合情推理选出一个正确的结论加以证明:
①∠BEC+∠BDE= 45°,
②∠BEC+∠BED= 45°,
③∠BEC+∠DFE= 45°.

8. (1) 两个正方形并排成矩形，长为2，宽为1，对角线长为$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$；n个正方形并排成矩形，长为n，宽为1，对角线长为$\sqrt{n^2 + 1^2} = \sqrt{n^2 + 1}$。
(2) 证明：设正方形边长为1，由题意得$BC=1$，$BE=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$，$CE=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$，$BD=2$，$ED=\sqrt{3^2 + 1^2}=\sqrt{10}$。
$\because \frac{BC}{BE}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{BE}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{CE}{ED}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
$\therefore \frac{BC}{BE}=\frac{BE}{BD}=\frac{CE}{ED}$，
$\therefore \triangle BCE \sim \triangle BED$。
(3) 正确结论为②。
证明：$\because \triangle BCE \sim \triangle BED$，$\therefore \angle BCE = \angle BED$。
在$\triangle ABE$中，$AB=AE=1$，$\angle BAE=90^\circ$，$\therefore \triangle ABE$是等腰直角三角形，$\angle ABE=45^\circ$。
$\because A$，$B$，$C$共线，$\therefore \angle CBE=180^\circ - \angle ABE=135^\circ$。
在$\triangle BCE$中，$\angle BEC + \angle BCE + \angle CBE=180^\circ$，
$\therefore \angle BEC + \angle BCE=180^\circ - 135^\circ=45^\circ$。
又$\angle BCE = \angle BED$，$\therefore \angle BEC + \angle BED=45^\circ$。