3. 如图,在△ABC中,∠A= 90°.
(1) 请你画一个半圆使得圆心O在边BC上,并与AB、AC都相切(保留画图痕迹);
(2) 已知AB= 4,AC= 3,求(1)中所画圆的半径.

解：连接圆心和两个切点M和N
则四边形OMAN是正方形
设半径为r
∴CN=AC-AN=3-r，BM= AB-AM=4-r
∴$OC=\sqrt{CN^2+ON^2}，$$OB=\sqrt{BM^2+OM^2}$
∴$BC=OC+OB=\sqrt{(3-r)^2+r^2}+\sqrt{r^2+(4-r)^2}=\sqrt{3^2+4^2}$
解得$r=\frac {12}7$

4. 为检测生产的一种铁球的大小是否符合要求,工人设计了一个工件槽,工件槽的两个底角均为90°,尺寸如图所示(单位:cm).将形状规则的铁球放入槽内,若同时具有图中的A、B、E三个接触点,则该球大小符合要求.请结合图中数据,计算符合要求的铁球直径.

解：如图，对点O、C、 D作标注，连接OA，设OE交AB于点P

∵AC⊥CD , BD⊥CD , AC//BD
∴四边形ABDC为矩形
∴AB=CD=16cm , AB//CD
∵CD与圆O相切
∴OE⊥ CD
∵AB//CD , OE⊥CD
∴OE ⊥ AB
∴$ AP= BP=\frac 12AB= 8cm$
∵OE⊥CD ,四边形ABDC为矩形
∴EP= BD= 4cm
设铁球的半径为rcm ,即OA=OE=rcm ,则OP=(r-4)cm
∵△OAP为直角三角形
∴$OA^2=OP^2+AP^2$
∴$r^2 =(r-4)^2+8^2$
∴r=10
∴铁球的直径为20cm

5. 如图,在正方形ABCD中,点O在对角线AC上,以点O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于点M,与AB、AD分别相交于点E、F.
(1) 求证:CD是⊙O的切线;
(2) 已知正方形ABCD的边长为1,求⊙O的半径.

(1)证明:连接OM，过点O作ON⊥CD ，垂足为N

∵圆O与BC相切于M
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中， AC平分∠BCD
又∵ON⊥CD ， OM⊥BC
∴OM = ON
∴CD与圆O相切
(2)设圆O的半径为R ，则OM = R
∵正方形ABCD的边长为1，
∴$ AC=\sqrt2，$$ OC=\sqrt2- R$
在Rt△OMC中，∠OCM=45°
∴CM=OM=R
∴$ R^2+ R^2=(\sqrt2- R)^2$
解得$R=2-\sqrt2$

6. 如图①、②、③、…、ⓝ,在⊙O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…中,点M、N分别在边AB、BC上,且BM= CN,连接OM、ON.

(1) 图①中的∠O= ______°;
(2) 图②中的∠O= ______°,图③中的∠O= ______°;
(3) 试探究∠O的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案).
(1) 图①中的∠O= °;
(2) 图②中的∠O= °,图③中的∠O= °;
(3) 试探究∠O的度数与正n边形的边数n之间的关系(直接写出答案).

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