10. (★★)用因式分解法解下列方程：
(1)$4x^{2}= 2x$；
(2)$4x^{2}= 9$；
(3)$3x(x-2)= 2x-4$；
(4)$(x-3)(x+1)= x-3$.

(1)
解：移项得$4x^{2}-2x = 0$，
提取公因式$2x$得$2x(2x - 1)=0$，
则$2x = 0$或$2x - 1 = 0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。
(2)
解：移项得$4x^{2}-9 = 0$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，这里$a = 2x$，$b = 3$，
则$(2x + 3)(2x - 3)=0$，
所以$2x+3 = 0$或$2x - 3 = 0$，
解得$x_{1}=-\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{3}{2}$。
(3)
解：移项得$3x(x - 2)-2(x - 2)=0$，
提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(3x - 2)=0$，
则$x - 2 = 0$或$3x - 2 = 0$，
解得$x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{2}{3}$。
(4)
解：移项得$(x - 3)(x + 1)-(x - 3)=0$，
提取公因式$(x - 3)$得$(x - 3)(x + 1 - 1)=0$，
即$(x - 3)x = 0$，
所以$x - 3 = 0$或$x = 0$，
解得$x_{1}=3$，$x_{2}=0$。

11. (★★★)若 $5x^{2}-30xy+45y^{2}= 0(y≠0)$,求 $\frac{x}{y}$ 的值.

因为$y≠0$，方程两边同时除以$y^{2}$，得$5\left(\frac{x}{y}\right)^{2}-30\left(\frac{x}{y}\right)+45 = 0$。
设$t=\frac{x}{y}$，则方程化为$5t^{2}-30t + 45=0$。
方程两边同时除以5，得$t^{2}-6t + 9=0$。
因式分解，得$(t - 3)^{2}=0$。
解得$t_{1}=t_{2}=3$。
所以$\frac{x}{y}=3$。

12. (★★★)已知一个直角三角形的两边长分别为 $x,y$,且满足 $|x^{2}-9|+\sqrt{y^{2}-8y+16}= 0$,求此直角三角形的第三边长.

由题意，得$|x^{2} - 9| + \sqrt{y^{2} - 8y + 16} = 0$。
因为$\sqrt{y^{2} - 8y + 16}=\sqrt{(y - 4)^{2}}=|y - 4|$，
所以$|x^{2} - 9| + |y - 4| = 0$。
根据非负数的性质，有：
$x^{2} - 9 = 0$，
$y - 4 = 0$。
解得：
$x = \pm 3$，
$y = 4$。
由于$x$为三角形的边长，所以$x = 3$（舍去$x = -3$）。
当$x$和所求边均为直角边时，根据勾股定理，第三边（斜边）的长度为：
$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$。
当$y$为斜边，$x$为直角边时，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长度为：
$\sqrt{4^{2} - 3^{2}} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$。
综上，此直角三角形的第三边长为$5$或$\sqrt{7}$。

13. (★★)用适当的方法解下列方程：
(1)$x^{2}= 4x$；
(2)$x^{2}+4x= 12$；
(3)$x^{2}+(x-3)^{2}= 9$；
(4)$x^{2}-3x+1= 0$；
(5)$(2x+3)(x-1)= 3$；
(6)$(x+1)^{2}= (2x-1)^{2}$.

(1)
解：移项得 $x^{2} - 4x = 0$，
因式分解得 $x(x - 4) = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = 4$。
(2)
解：移项得 $x^{2} + 4x - 12 = 0$，
因式分解得 $(x + 6)(x - 2) = 0$，
解得 $x_{1} = -6$，$x_{2} = 2$。
(3)
解：展开并整理得 $x^{2} + x^{2} - 6x + 9 = 9$，
合并同类项得 $2x^{2} - 6x = 0$，
因式分解得 $2x(x - 3) = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = 3$。
(4)
解：对于方程 $x^{2} - 3x + 1 = 0$，
由于不易直接因式分解，使用求根公式，
其中 $a = 1$，$b = -3$，$c = 1$，
判别式 $\Delta = b^{2} - 4ac = 9 - 4 = 5$，
解得 $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$，
即 $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$，$x_{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$。
(5)
解：展开并整理得 $2x^{2} - 2x + 3x - 3 = 3$，
即 $2x^{2} + x - 6 = 0$，
因式分解得 $(2x - 3)(x + 2) = 0$，
解得 $x_{1} = \frac{3}{2}$，$x_{2} = -2$。
(6)
解：移项得 $(x + 1)^{2} - (2x - 1)^{2} = 0$，
因式分解得 $[(x + 1) + (2x - 1)][(x + 1) - (2x - 1)] = 0$，
即 $3x(2 - x) = 0$，
解得 $x_{1} = 0$，$x_{2} = 2$。