登录
1. (★) 一般地, 形如 $ y = kx + b $ ( $ k $, $ b $ 为常数, $ k \neq 0 $ ) 的函数, 叫做
一次
函数.答案
一次
解析
根据一次函数的定义，形如 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，$ k \neq 0 $）的函数叫做一次函数。
2. (★) 一般地, 形如
$y = ax^2 + bx + c$
( $ a $, $ b $, $ c $ 是常数, $ a \neq 0 $ ) 的函数, 叫做二次函数.答案
$y = ax^2 + bx + c$
解析
根据二次函数的定义，一般地，形如$y = ax^2 + bx + c$（$a$，$b$，$c$是常数，$a \neq 0$）的函数，叫做二次函数。
3. (★) 二次函数 $ y = (2 - 3x)(3 + x) $ 化为一般形式是
$y = -3x^{2} -7x + 6$
, 则二次项系数为$-3$
, 一次项系数为$-7$
, 常数项为$6$
.答案
一般形式是 $y = -3x^{2} -7x + 6$；
二次项系数为$-3$；
一次项系数为$-7$；
常数项为$6$。
二次项系数为$-3$；
一次项系数为$-7$；
常数项为$6$。
解析
首先，将给定的二次函数 $y = (2 - 3x)(3 + x)$ 展开：
$y = 2 × 3 + 2 × x - 3x × 3 - 3x × x$
$y = 6 + 2x - 9x - 3x^{2}$
$y = -3x^{2} - 7x + 6$
从上述表达式中，可以直接读出：
二次项系数为 $-3$，
一次项系数为 $-7$，
常数项为 $6$。
$y = 2 × 3 + 2 × x - 3x × 3 - 3x × x$
$y = 6 + 2x - 9x - 3x^{2}$
$y = -3x^{2} - 7x + 6$
从上述表达式中，可以直接读出：
二次项系数为 $-3$，
一次项系数为 $-7$，
常数项为 $6$。
4. (★) 一块矩形草地, 长为 $ 8 \, m $, 宽为 $ 6 \, m $, 若将长与宽都增加 $ x \, m $, 设增加的面积为 $ y \, m^2 $, 则 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式是
$y = x^2 + 14x$
, $ y $ 是 $ x $ 的二次
函数.答案
$y = x^2 + 14x$；二次。
解析
原矩形草地的长为 $8 \, m$，宽为 $6 \, m$，面积为 $8 × 6 = 48 \, m^2$。
长和宽都增加 $x \, m$ 后，新的长为 $8 + x \, m$，新的宽为 $6 + x \, m$。
新面积为 $(8 + x)(6 + x) \, m^2$。
增加的面积 $y$ 为新面积减去原面积，即：
$y = (8 + x)(6 + x) - 48$，
展开并整理得：
$y = 48 + 8x + 6x + x^2 - 48$，
$y = x^2 + 14x$。
由此可见，$y$ 是 $x$ 的二次函数。
长和宽都增加 $x \, m$ 后，新的长为 $8 + x \, m$，新的宽为 $6 + x \, m$。
新面积为 $(8 + x)(6 + x) \, m^2$。
增加的面积 $y$ 为新面积减去原面积，即：
$y = (8 + x)(6 + x) - 48$，
展开并整理得：
$y = 48 + 8x + 6x + x^2 - 48$，
$y = x^2 + 14x$。
由此可见，$y$ 是 $x$ 的二次函数。
5. (★) 下列各式属于 $ y $ 关于 $ x $ 的二次函数的是【
A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = \frac{1}{2} $
C.$ y = x^2 + x $
D.$ y = 3(x - 1)(x + 1) - 3x^2 $
C
】A.$ y = 3x - 1 $
B.$ y = \frac{1}{2} $
C.$ y = x^2 + x $
D.$ y = 3(x - 1)(x + 1) - 3x^2 $
答案
C
解析
A. $y = 3x - 1$，此式是一次函数，不是二次函数，故A错误；
B. $y = \frac{1}{2}$，此式是常数函数，没有自变量，故不是二次函数，B错误；
C. $y = x^2 + x$，此式符合二次函数的一般形式$y = ax^2 + bx + c$（其中$a \neq 0$），故C正确；
D. $y = 3(x - 1)(x + 1) - 3x^2$，展开后得到$y = 3x^2 - 3 - 3x^2 = -3$，此式是常数函数，不是二次函数，D错误。
B. $y = \frac{1}{2}$，此式是常数函数，没有自变量，故不是二次函数，B错误；
C. $y = x^2 + x$，此式符合二次函数的一般形式$y = ax^2 + bx + c$（其中$a \neq 0$），故C正确；
D. $y = 3(x - 1)(x + 1) - 3x^2$，展开后得到$y = 3x^2 - 3 - 3x^2 = -3$，此式是常数函数，不是二次函数，D错误。
6. (★) 已知函数 $ y = (k + 3)x^{k^2 - 7} + 2x - 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数, 则此函数的关系式为
$y = 6x^{2} + 2x - 1$
.答案
$y = 6x^{2} + 2x - 1$
解析
根据二次函数的定义，函数 $y = ax^2 + bx + c$（其中 $a \neq 0$）是关于 $x$ 的二次函数。
因此，对于给定的函数 $y = (k + 3)x^{k^2 - 7} + 2x - 1$，需要满足以下条件：
$k^2 - 7 = 2$，以确保 $x$ 的最高次数为 2。
$k + 3 \neq 0$，以确保二次项系数不为 0。
解第一个方程 $k^2 - 7 = 2$，得到 $k^2 = 9$，进而解得 $k = \pm 3$。
然后考虑第二个条件 $k + 3 \neq 0$，排除 $k = -3$ 这个解。
所以 $k = 3$，将 $k$ 值代入原函数，得到函数关系式为 $y = 6x^2 + 2x - 1$。
因此，对于给定的函数 $y = (k + 3)x^{k^2 - 7} + 2x - 1$，需要满足以下条件：
$k^2 - 7 = 2$，以确保 $x$ 的最高次数为 2。
$k + 3 \neq 0$，以确保二次项系数不为 0。
解第一个方程 $k^2 - 7 = 2$，得到 $k^2 = 9$，进而解得 $k = \pm 3$。
然后考虑第二个条件 $k + 3 \neq 0$，排除 $k = -3$ 这个解。
所以 $k = 3$，将 $k$ 值代入原函数，得到函数关系式为 $y = 6x^2 + 2x - 1$。
7. (★) 在半径为 $ 4 \, cm $ 的圆中挖去一个半径为 $ x \, cm $ 的圆, 剩下的圆环的面积为 $ y \, cm^2 $, 则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为【
A.$ y = \pi x^2 - 4 $
B.$ y = \pi(2 - x)^2 $
C.$ y = -(x^2 + 4) $
D.$ y = -\pi x^2 + 16\pi $
D
】A.$ y = \pi x^2 - 4 $
B.$ y = \pi(2 - x)^2 $
C.$ y = -(x^2 + 4) $
D.$ y = -\pi x^2 + 16\pi $
答案
D
解析
原圆半径为 $4 cm$，其面积为 $\pi × 4^2 = 16\pi cm^2$。
挖去的圆半径为 $x cm$，其面积为 $\pi x^2 cm^2$。
圆环面积 $y$ 为原圆面积减去挖去圆的面积，即：
$y = 16\pi - \pi x^2= -\pi x^2 + 16\pi$，
与选项D相匹配。
挖去的圆半径为 $x cm$，其面积为 $\pi x^2 cm^2$。
圆环面积 $y$ 为原圆面积减去挖去圆的面积，即：
$y = 16\pi - \pi x^2= -\pi x^2 + 16\pi$，
与选项D相匹配。
8. (★) 下列说法正确的是【
A.二次函数自变量的取值范围是非零实数
B.在圆的面积公式 $ S = \pi r^2 $ 中, $ S $ 是 $ r $ 的二次函数
C.$ y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $ 不是二次函数
D.在函数 $ y = 1 - \sqrt{2}x^2 $ 中, 一次项系数为 $ 1 $
B
】A.二次函数自变量的取值范围是非零实数
B.在圆的面积公式 $ S = \pi r^2 $ 中, $ S $ 是 $ r $ 的二次函数
C.$ y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4) $ 不是二次函数
D.在函数 $ y = 1 - \sqrt{2}x^2 $ 中, 一次项系数为 $ 1 $
答案
B
解析
A选项：二次函数自变量$x$的取值范围是全体实数，不是非零实数，所以A选项错误。
B选项：在圆的面积公式$S = \pi r^2$中，$S$是$r$的二次函数，符合二次函数定义且$r$的取值范围是非负实数（半径不能为负），在函数定义讨论范围内，所以B选项正确。
C选项：$y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4)=\frac{1}{2}(x^{2}+3x - 4)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x - 2$，是二次函数，所以C选项错误。
D选项：在函数$y = 1 - \sqrt{2}x^2$中，它是二次函数，二次项系数是$-\sqrt{2}$，一次项系数为$0$，所以D选项错误。
B选项：在圆的面积公式$S = \pi r^2$中，$S$是$r$的二次函数，符合二次函数定义且$r$的取值范围是非负实数（半径不能为负），在函数定义讨论范围内，所以B选项正确。
C选项：$y = \frac{1}{2}(x - 1)(x + 4)=\frac{1}{2}(x^{2}+3x - 4)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{3}{2}x - 2$，是二次函数，所以C选项错误。
D选项：在函数$y = 1 - \sqrt{2}x^2$中，它是二次函数，二次项系数是$-\sqrt{2}$，一次项系数为$0$，所以D选项错误。
9. (★) 若 $ y = (m - 2)x^2 - x + 1 $ 是关于 $ x $ 的二次函数, 则 $ m $ 的取值范围是
$m \neq 2$
.答案
$m \neq 2$
解析
根据二次函数的定义，二次项系数不能为0。
对于函数 $y = (m - 2)x^{2} - x + 1$，其二次项系数为 $m - 2$。
为了确保这是一个二次函数，需要有 $m - 2 \neq 0$。
解这个不等式，得到 $m \neq 2$。
对于函数 $y = (m - 2)x^{2} - x + 1$，其二次项系数为 $m - 2$。
为了确保这是一个二次函数，需要有 $m - 2 \neq 0$。
解这个不等式，得到 $m \neq 2$。
