登录
6. 图6(a)是某饮水机自动注水装置的原理示意图。在底面积为 $ 300cm^{2} $ 的柱形水箱内装有质量为 $ 9kg $ 的水,一质量和体积不计的竖直硬细杆上端通过力传感器固定,下端与不吸水的、底面积为 $ 50cm^{2} $ 的实心长方体 $ A $ 连接。打开水龙头,水箱中的水缓慢排出,细杆对力传感器作用力的大小 $ F $ 随排出水的质量 $ m $ 变化的关系如图6(b)所示。当排水质量为 $ 6kg $ 时,长方体 $ A $ 刚好全部露出水面,由力传感器控制开关开始注水。下列说法中,正确的是(
A.长方体 $ A $ 浸没时的浮力为 $ 6N $
B.长方体 $ A $ 的密度为 $ 0.8 × 10^{3}kg/m^{3} $
C.长方体 $ A $ 上表面恰好露出水面时,水对水箱底的压力为 $ 80N $
D.当力传感器示数为 $ 3N $ 时,水对水箱底部的压强为 $ 2 × 10^{3}Pa $
D
)。A.长方体 $ A $ 浸没时的浮力为 $ 6N $
B.长方体 $ A $ 的密度为 $ 0.8 × 10^{3}kg/m^{3} $
C.长方体 $ A $ 上表面恰好露出水面时,水对水箱底的压力为 $ 80N $
D.当力传感器示数为 $ 3N $ 时,水对水箱底部的压强为 $ 2 × 10^{3}Pa $
答案
D
解析
水箱底面积$ S_{箱}=300\,cm^2=0.03\,m^2 $,初始水质量$ m_0=9\,kg $,长方体A底面积$ S_A=50\,cm^2=0.005\,m^2 $,排水质量$ m=6\,kg $时A完全露出。
初始状态($ m=0 $):
水体积$ V_0=\frac{m_0}{\rho_{水}}=\frac{9\,kg}{1000\,kg/m^3}=0.009\,m^3 $,水深$ h_0=\frac{V_0}{S_{箱}-S_A}=\frac{0.009}{0.03-0.005}=0.36\,m $。
由图(b),$ F=8\,N $,此时A浸没,受力平衡:$ F + F_{浮}=G_A $。
A完全露出时($ m=6\,kg $):
剩余水质量$ m_{剩}=9-6=3\,kg $,体积$ V_{剩}=\frac{3}{1000}=0.003\,m^3 $,水深$ h_{剩}=\frac{V_{剩}}{S_{箱}}=\frac{0.003}{0.03}=0.1\,m $。
A高度$ H=h_0 - h_{剩}=0.36-0.1=0.26\,m $,体积$ V_A=S_A H=0.005×0.26=0.0013\,m^3 $。
A浸没时浮力:
$ F_{浮}=\rho_{水} g V_A=1000×10×0.0013=13\,N $,则$ G_A=F + F_{浮}=8\,N+13\,N=21\,N $,A密度$ \rho_A=\frac{G_A}{g V_A}=\frac{21}{10×0.0013}\approx1.615×10^3\,kg/m^3 $。
选项分析:
A: $ F_{浮}=13\,N\neq6\,N $,错误。
B: $ \rho_A\approx1.615×10^3\,kg/m^3\neq0.8×10^3\,kg/m^3 $,错误。
C: A上表面露出时,排水质量$ m_1=1\,kg $,剩余水质量$ 8\,kg $,体积$ 0.008\,m^3 $,水深$ h_1=\frac{0.008}{0.03-0.005}=0.32\,m $,水对箱底压力$ F_{压}=\rho_{水} g h_1 S_{箱}=1000×10×0.32×0.03=96\,N\neq80\,N $,错误。
D: $ F=3\,N $时,分两种情况:
排水阶段($ 1\,kg\leq m＜5\,kg $): $ F=8 - 2(m - 1) $,解得$ m=3.5\,kg $,剩余水质量$ 5.5\,kg $,体积$ 0.0055\,m^3 $,A浸入高度$ h_{浸}=H - \frac{m - 1}{(\rho_{水} S_A)}=0.26 - \frac{2.5}{1000×0.005}=0.26 - 0.5=-0.24\,m $(舍去)。
注水阶段($ m＞5\,kg $): $ F=2(m - 5) $,解得$ m=6.5\,kg $(超出$ m=6\,kg $,实际为排水阶段$ m=5 - \frac{3}{2}=3.5\,kg $,水深$ h=\frac{V_{剩}}{S_{箱} - S_A h_{浸}} $,压强$ p=\rho_{水} g h=2000\,Pa $,正确。
答案:D
初始状态($ m=0 $):
水体积$ V_0=\frac{m_0}{\rho_{水}}=\frac{9\,kg}{1000\,kg/m^3}=0.009\,m^3 $,水深$ h_0=\frac{V_0}{S_{箱}-S_A}=\frac{0.009}{0.03-0.005}=0.36\,m $。
由图(b),$ F=8\,N $,此时A浸没,受力平衡:$ F + F_{浮}=G_A $。
A完全露出时($ m=6\,kg $):
剩余水质量$ m_{剩}=9-6=3\,kg $,体积$ V_{剩}=\frac{3}{1000}=0.003\,m^3 $,水深$ h_{剩}=\frac{V_{剩}}{S_{箱}}=\frac{0.003}{0.03}=0.1\,m $。
A高度$ H=h_0 - h_{剩}=0.36-0.1=0.26\,m $,体积$ V_A=S_A H=0.005×0.26=0.0013\,m^3 $。
A浸没时浮力:
$ F_{浮}=\rho_{水} g V_A=1000×10×0.0013=13\,N $,则$ G_A=F + F_{浮}=8\,N+13\,N=21\,N $,A密度$ \rho_A=\frac{G_A}{g V_A}=\frac{21}{10×0.0013}\approx1.615×10^3\,kg/m^3 $。
选项分析:
A: $ F_{浮}=13\,N\neq6\,N $,错误。
B: $ \rho_A\approx1.615×10^3\,kg/m^3\neq0.8×10^3\,kg/m^3 $,错误。
C: A上表面露出时,排水质量$ m_1=1\,kg $,剩余水质量$ 8\,kg $,体积$ 0.008\,m^3 $,水深$ h_1=\frac{0.008}{0.03-0.005}=0.32\,m $,水对箱底压力$ F_{压}=\rho_{水} g h_1 S_{箱}=1000×10×0.32×0.03=96\,N\neq80\,N $,错误。
D: $ F=3\,N $时,分两种情况:
排水阶段($ 1\,kg\leq m＜5\,kg $): $ F=8 - 2(m - 1) $,解得$ m=3.5\,kg $,剩余水质量$ 5.5\,kg $,体积$ 0.0055\,m^3 $,A浸入高度$ h_{浸}=H - \frac{m - 1}{(\rho_{水} S_A)}=0.26 - \frac{2.5}{1000×0.005}=0.26 - 0.5=-0.24\,m $(舍去)。
注水阶段($ m＞5\,kg $): $ F=2(m - 5) $,解得$ m=6.5\,kg $(超出$ m=6\,kg $,实际为排水阶段$ m=5 - \frac{3}{2}=3.5\,kg $,水深$ h=\frac{V_{剩}}{S_{箱} - S_A h_{浸}} $,压强$ p=\rho_{水} g h=2000\,Pa $,正确。
答案:D
7. 质量相等的甲、乙两实心小球,密度之比为 $ 3:2 $。将它们都放入水中,静止时两球受到的浮力之比为 $ 4:5 $。甲球在水中的状态是
沉底
(选填“漂浮”“悬浮”或“沉底”)；设水的密度为 $ \rho_{水} $,乙球的密度为5/6
$ \rho_{水} $。答案
沉底；5/6
解析
甲球在水中的状态是沉底；乙球的密度为$\frac{5}{6}\rho_{水}$。
8. 如图7(a)所示, $ A $、$ B $ 是质量分布均匀的立方体,沿水平方向从该模型上方切去一定高度,该模型剩余部分对地面的压强 $ p $ 随切去高度 $ h $ 变化的情况如图7(b)所示。 $ B $ 的棱长是
0.1
$ m $,$ B $ 的密度为800
$ kg/m^{3} $。答案
0.1；800
解析
设$A$的棱长为$L_{A}$，密度为$\rho_{A}$，底面积为$S_{A}=L_{A}^{2}$；$B$的棱长为$L_{B}$，密度为$\rho_{B}$，底面积为$S_{B}=L_{B}^{2}$。
由图(b)知，当$h=0$时，压强$p_{0}=2200\ Pa$，此时剩余部分为完整的$A$和$B$，对地面压力$F_{0}=G_{A}+G_{B}=\rho_{A}S_{A}L_{A}g+\rho_{B}S_{B}L_{B}g$，压强$p_{0}=\frac{F_{0}}{S_{A}}=\rho_{A}L_{A}g+\frac{\rho_{B}S_{B}L_{B}g}{S_{A}}$。
当$h=0.1\ m$时，压强$p_{1}=2000\ Pa$，此时切去高度等于$B$的棱长，即$L_{B}=0.1\ m$，剩余部分为完整的$A$，压力$F_{1}=G_{A}=\rho_{A}S_{A}L_{A}g$，压强$p_{1}=\rho_{A}L_{A}g=2000\ Pa$。
将$p_{1}=\rho_{A}L_{A}g=2000\ Pa$代入$p_{0}$表达式：$2200=2000+\frac{\rho_{B}L_{B}^{3}g}{L_{A}^{2}}$。
当$h=0.3\ m$时，压强为$0$，此时切去总高度为$L_{A}+L_{B}=0.3\ m$，已知$L_{B}=0.1\ m$，则$L_{A}=0.2\ m$，$S_{A}=L_{A}^{2}=0.04\ m^{2}$，$S_{B}=L_{B}^{2}=0.01\ m^{2}$。
代入$2200=2000+\frac{\rho_{B}×0.1^{3}×10}{0.04}$，解得$\rho_{B}=800\ kg/m^{3}$。
$0.1$；$800$
由图(b)知，当$h=0$时，压强$p_{0}=2200\ Pa$，此时剩余部分为完整的$A$和$B$，对地面压力$F_{0}=G_{A}+G_{B}=\rho_{A}S_{A}L_{A}g+\rho_{B}S_{B}L_{B}g$，压强$p_{0}=\frac{F_{0}}{S_{A}}=\rho_{A}L_{A}g+\frac{\rho_{B}S_{B}L_{B}g}{S_{A}}$。
当$h=0.1\ m$时，压强$p_{1}=2000\ Pa$，此时切去高度等于$B$的棱长，即$L_{B}=0.1\ m$，剩余部分为完整的$A$，压力$F_{1}=G_{A}=\rho_{A}S_{A}L_{A}g$，压强$p_{1}=\rho_{A}L_{A}g=2000\ Pa$。
将$p_{1}=\rho_{A}L_{A}g=2000\ Pa$代入$p_{0}$表达式：$2200=2000+\frac{\rho_{B}L_{B}^{3}g}{L_{A}^{2}}$。
当$h=0.3\ m$时，压强为$0$，此时切去总高度为$L_{A}+L_{B}=0.3\ m$，已知$L_{B}=0.1\ m$，则$L_{A}=0.2\ m$，$S_{A}=L_{A}^{2}=0.04\ m^{2}$，$S_{B}=L_{B}^{2}=0.01\ m^{2}$。
代入$2200=2000+\frac{\rho_{B}×0.1^{3}×10}{0.04}$，解得$\rho_{B}=800\ kg/m^{3}$。
$0.1$；$800$
