18. (6 分)如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中, $ \angle ACB = 90^{\circ} $, $ CD $, $ CH $ 分别是 $ AB $ 边上的中线和高, $ BC = \sqrt{14} $, $ \cos \angle ACD = \frac{3}{4} $,求 $ AB $, $ CH $ 的长.

$AB=4\sqrt{2}$，$CH=\frac{3\sqrt{14}}{4}$。

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$CD$是$AB$边上的中线，根据直角三角形斜边中线性质，得$CD=AD=\frac{1}{2}AB$，故$\angle A=\angle ACD$。
已知$\cos\angle ACD=\frac{3}{4}$，则$\cos\angle A=\frac{3}{4}$。设$AC=3k$，$AB=4k$（$k＞0$），由勾股定理$AC^2+BC^2=AB^2$，$BC=\sqrt{14}$，得：
$(3k)^2+(\sqrt{14})^2=(4k)^2$
$9k^2 + 14 = 16k^2$
$7k^2=14$
$k^2=2$，$k=\sqrt{2}$（舍负）
故$AB=4k=4\sqrt{2}$。
$AC=3k=3\sqrt{2}$，由$Rt\triangle ABC$面积公式：$\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CH$，得：
$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{3\sqrt{2}×\sqrt{14}}{4\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{14}}{4}$

19. (8 分)如图,一次函数 $ y_{1} = kx + b $ 的图象与反比例函数 $ y_{2} = \frac{m}{x} $ 的图象交于 $ A(-4,1) $, $ B(1,n) $ 两点.
(1) 试确定上述反比例函数和一次函数的表达式;
(2) 求直线 $ AB $ 与 $ x $ 轴交点 $ C $ 的坐标和 $ \triangle AOB $ 的面积;
(3) 当函数值 $ y_{1} ＜ y_{2} $ 时,求自变量 $ x $ 的取值范围.

(1) 反比例函数$ y_2 = \frac{m}{x} $过点$ A(-4,1) $，代入得$ 1 = \frac{m}{-4} $，解得$ m = -4 $，故$ y_2 = -\frac{4}{x} $。
点$ B(1,n) $在$ y_2 = -\frac{4}{x} $上，代入得$ n = -\frac{4}{1} = -4 $，即$ B(1,-4) $。
一次函数$ y_1 = kx + b $过$ A(-4,1) $和$ B(1,-4) $，代入得：
$\begin{cases} -4k + b = 1 \\ k + b = -4 \end{cases}$，解得$\begin{cases} k = -1 \\ b = -3 \end{cases}$，故$ y_1 = -x - 3 $。
(2) 直线$ AB $：$ y_1 = -x - 3 $与$ x $轴交于$ C $，令$ y = 0 $，则$ 0 = -x - 3 $，解得$ x = -3 $，故$ C(-3,0) $。
$ S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} $，$ OC = 3 $，$ A $到$ x $轴距离为$ 1 $，$ B $到$ x $轴距离为$ 4 $，
$ S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2} × 3 × 1 = \frac{3}{2} $，$ S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $，
$ S_{\triangle AOB} = \frac{3}{2} + 6 = \frac{15}{2} $。
(3) 由交点$ A(-4,1) $，$ B(1,-4) $及函数图象，$ y_1 ＜ y_2 $时，$ x $的取值范围为$ -4 ＜ x ＜ 0 $或$ x ＞ 1 $。
答案
(1) 反比例函数：$ y_2 = -\frac{4}{x} $，一次函数：$ y_1 = -x - 3 $；
(2) $ C(-3,0) $，$ S_{\triangle AOB} = \frac{15}{2} $；
(3) $ -4 ＜ x ＜ 0 $或$ x ＞ 1 $。