20. (8分)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一. 如图$1$是小红同学安装的化学实验装置,安装要求为试管略向下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分之一处. 如图$2$,已知试管$AB=30cm$,$BE=\frac{1}{3}AB$,试管倾斜角$\alpha$为$10^{\circ}$.
(1) 求酒精灯与铁架台的水平距离$CD$的长度;
(2) 实验时,当导气管紧贴水槽$MN$,延长$BM$交$CN$的延长线于点$F$,且$MN\perp CF$(点$C,D,N,F$在一条直线上),经测得$DE=21.7cm$,$MN=8cm$,$\angle ABM=145^{\circ}$,求线段$DN$的长度.(参考数据:$\sin 10^{\circ}\approx 0.17$,$\cos 10^{\circ}\approx 0.98$,$\tan 10^{\circ}\approx 0.18$)

(1) ∵AB=30cm，BE=1/3AB，∴BE=10cm，AE=AB-BE=20cm。
试管倾斜角α=10°，即AB与水平线夹角为10°。
过E作ED⊥CF于D（CF为水平线），则CD为AE在水平方向的投影。
∴CD=AE·cosα=20·cos10°≈20×0.98=19.6cm。
(2) 以CF为x轴，C为原点建立坐标系，设D(d,0)，则E(d,21.7)（DE=21.7cm）。
B点坐标：E点右移BE·cos10°，下移BE·sin10°，即B(d+10×0.98,21.7-10×0.17)=(d+9.8,20)。
M点在MN上，MN⊥CF，MN=8cm，设N(n,0)，则M(n,8)，DN=n-d=k（k为所求）。
向量BA=(-30×0.98,30×0.17)=(-29.4,5.1)，向量BM=(k-9.8,-12)。
∠ABM=145°，由向量夹角公式：
cos145°=(BA·BM)/(|BA||BM|)，代入得：
-0.819≈[(-29.4)(k-9.8)+5.1×(-12)]/[30·√((k-9.8)²+12²)]
化简解得k≈21.7，即DN=21.7cm。
(1) 19.6cm；(2) 21.7cm。