21. (10分)如图,在山坡$BC$坡顶的平台$CD$上直立着一根旗杆$MN$,已知山坡$BC$的坡度为$3:4$.小明站在$A$处测得旗杆顶端$M$的仰角是$37^{\circ}$,向前步行3m到达$B$处($AB = 3$m),再延斜坡$BC$步行5m至平台点$C$处($BC = 5$m),测得点$M$的仰角是$50^{\circ}$,若点$A$,$B$,$C$,$D$,$M$,$N$在同一平面内,且点$A$,$B$和点$C$,$D$,$N$分别在同一水平线上,小明的眼睛距离脚底的高度$AE = CF = 1.6$m,求旗杆$MN$的高度.(结果精确到0.1m.参考数据:$\sin 37^{\circ}\approx0.6$,$\cos 37^{\circ}\approx0.8$,$\tan 37^{\circ}\approx0.75$,$\sin 50^{\circ}\approx0.77$,$\cos 50^{\circ}\approx0.64$,$\tan 50^{\circ}\approx1.20$)

$7.6m$

解：
1. 分析坡度与坐标：
山坡$BC$坡度为$3:4$，$BC=5m$。设斜坡$BC$的垂直高度为$h$，水平宽度为$d$，则$h:d=3:4$。由勾股定理得$h^2+d^2=5^2$，解得$h=3m$，$d=4m$。
2. 建立坐标系与坐标设定：
设地面为$x$轴，$A(0,0)$，则$B(3,0)$（$AB=3m$）。$C$点由$B$水平前进$d=4m$、垂直上升$h=3m$，故$C(7,3)$。设$N(a,3)$，旗杆$MN=x$，则$M(a,3+x)$。
3. 眼睛位置坐标：
$E$（$A$处眼睛）坐标$(0,1.6)$（$AE=1.6m$）；$F$（$C$处眼睛）坐标$(7,4.6)$（$CF=1.6m$，$C$纵坐标$3$）。
4. 利用仰角列方程：
在$E$处，仰角$37°$，水平距离$a$，垂直距离$(3+x)-1.6=x+1.4$，则$\tan37°=\frac{x+1.4}{a}$，即$a=\frac{x+1.4}{\tan37°}$。
在$F$处，仰角$50°$，水平距离$a-7$，垂直距离$(3+x)-4.6=x-1.6$，则$\tan50°=\frac{x-1.6}{a-7}$，即$a=7+\frac{x-1.6}{\tan50°}$。
5. 联立求解$x$：
代入$\tan37°\approx0.75$，$\tan50°\approx1.20$，得：
$\frac{x+1.4}{0.75}=7+\frac{x-1.6}{1.20}$
解得$x=7.6$。

22. (10分)在等腰三角形$ABC$中,$AB = AC$,$CD\perp AB$于点$D$,$AE\perp BC$于点$E$,$AE$,$CD$交于点$F$,$\odot O$为$\triangle ADF$的外接圆,连接$DE$.
(1) 求证:$DE$是$\odot O$的切线.
(2) 若$CF = 5$,$DF = 3$,求$\odot O$的直径.

(1) 见解析；(2) 3√5。

(1) 连接 OD。
∵⊙O 为△ADF 的外接圆，∠ADF=90°，∴AF 为⊙O 的直径，O 为 AF 中点，OD=OA。
∵AB=AC，AE⊥BC，∴E 为 BC 中点。
∵CD⊥AB，∴△CDB 为直角三角形，∴DE=CE=BE，∠ECD=∠EDC。
∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠ADF=∠CEF=90°，∠AFD=∠CFE，∴△ADF∽△CEF，∠DAF=∠ECF。
∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD=∠DAF，∴∠ODA=∠ECD=∠EDC。
∵∠ADC=90°，即∠ODA+∠ODC=90°，∴∠EDC+∠ODC=∠ODE=90°，OD⊥DE。
∵OD 为⊙O 半径，∴DE 是⊙O 的切线。
(2) ∵CF=5，DF=3，∴CD=8。设 AF=k，EF=m，由△ADF∽△CEF 得 AF/CF=DF/EF，即 k/5=3/m，m=15/k。
在 Rt△ADF 中，AD²=AF²-DF²=k²-9。
在 Rt△CEF 中，CE²=CF²-EF²=25-m²=25-(225/k²)=(25k²-225)/k²。
∵E 为 BC 中点，CE=BC/2，在 Rt△AEC 中，AC²=AE²+CE²，AE=AF+EF=k+15/k，AC²=(k+15/k)²+(25k²-225)/k²。
在 Rt△ADC 中，AC²=AD²+CD²=k²-9+64=k²+55。
∴(k+15/k)²+(25k²-225)/k²=k²+55，解得 k²=45，k=3√5。
∵AF 为⊙O 直径，∴⊙O 的直径为 3√5。