1. 下列四边形中,是正多边形的是( )

A.菱形
B.矩形
C.正方形
D.梯形

C

2. 如图,在拧开一个边长为 $ a $ 的正六边形螺帽时,已知扳手张开的开口 $ b = 10\sqrt{3} $ mm,则这个正六边形的面积为( )

A.$ 25\sqrt{3} $ mm^2
B.$ 75\sqrt{3} $ mm^2
C.$ 150\sqrt{3} $ mm^2
D.$ \frac{20\sqrt{3}}{3} $ mm^2

C

解：正六边形可分成6个边长为$a$的等边三角形。
扳手开口$b$为正六边形对边距离，等于$2×$等边三角形的高。
等边三角形高$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$，则$b = 2h = \sqrt{3}a$。
已知$b = 10\sqrt{3}$，得$\sqrt{3}a = 10\sqrt{3}$，解得$a = 10$。
一个等边三角形面积$S_1 = \frac{1}{2} × a × \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$。
正六边形面积$S = 6S_1 = 6×\frac{\sqrt{3}}{4}×10^2 = 150\sqrt{3}$。
答案：C

3. 正八边形的中心角为______。

45°

4. (1)已知正六边形边长为 $ a $,则它的内切圆面积为______；
(2)已知正六边形的内切圆半径为 $ R $,则这个正六边形的边长为______,面积为______。

(1)$\frac{3}{4}\pi a^{2}$;
(2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$,$2\sqrt{3}R^{2}$

5. 圆内接正五边形 $ ABCDE $ 中,对角线 $ AC $ 和 $ BD $ 相交于点 $ P $,求 $ \angle APB $ 的度数。

72°

在圆内接正五边形$ABCDE$中，每条边所对的圆心角为$\frac{360°}{5} = 72°$，则每条边所对的圆周角为$\frac{72°}{2}=36°$。
$\angle BAC$是弧$BC$所对的圆周角，$\angle ABD$是弧$AD$所对的圆周角。弧$AD$包含两条边，即弧$AB$和弧$BC$，所以弧$AD$的度数为$2×72° = 144°$，则$\angle ABD=\frac{144°}{2} = 72°$。
在$\triangle APB$中，$\angle APB = 180°-\angle BAC-\angle ABD=180° - 36°-72°=72°$。
$72°$

6. 如图,在 $ \odot O $ 中, $ OA = AB $, $ OC \perp AB $ 交 $ AB $ 于点 $ D $,若 $ OA = 10 $ cm,求 $ \odot O $ 的内接正十二边形的边长。

$(5\sqrt{6}-5\sqrt{2})cm$

解：连接 $ OB $，
因为 $ OA = AB $，且 $ OA = OB $，
所以 $ \triangle OAB $ 是等边三角形，
所以 $ \angle AOB = 60° $。
因为 $ OC \perp AB $，
所以 $ \angle AOD = \frac{1}{2}\angle AOB = 30° $，$ AD = BD $。
在 $ Rt\triangle AOD $ 中，$ OA = 10\ cm $，
$ AD = OA \cdot \sin 30° = 10 × \frac{1}{2} = 5\ cm $，
$ OD = OA \cdot \cos 30° = 10 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\ cm $。
$ CD = OC - OD = 10 - 5\sqrt{3}\ cm $。
在 $ Rt\triangle ACD $ 中，
$ AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{5^2 + (10 - 5\sqrt{3})^2} $
$ = \sqrt{25 + 100 - 100\sqrt{3} + 75} $
$ = \sqrt{200 - 100\sqrt{3}} $
$ = \sqrt{100(2 - \sqrt{3})} $
$ = 10\sqrt{2 - \sqrt{3}} $
$ = 5\sqrt{6} - 5\sqrt{2}\ cm $。
因为圆内接正十二边形的中心角为 $ \frac{360°}{12} = 30° $，$ \angle AOC = 30° $，
所以 $ AC $ 为内接正十二边形的边长，即边长为 $ 5\sqrt{6} - 5\sqrt{2}\ cm $。
$ (5\sqrt{6} - 5\sqrt{2})\ cm $

7. 半径相等的圆内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为多少？

$\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$

设圆的半径为$R$。
对于圆内接正三角形，边长$a_3 = 2R\sin\frac{\pi}{3} = 2R×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}R$。
对于圆内接正四边形，边长$a_4 = 2R\sin\frac{\pi}{4} = 2R×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}R$。
对于圆内接正六边形，边长$a_6 = 2R\sin\frac{\pi}{6} = 2R×\frac{1}{2} = R$。
则边长之比为$a_3:a_4:a_6 = \sqrt{3}R:\sqrt{2}R:R = \sqrt{3}:\sqrt{2}:1$。

8. 如图,正方形 $ ABCD $ 内接于 $ \odot O $, $ P $ 为 $ \overset{\frown}{BC} $ 上的一点,连接 $ DP $, $ CP $。
(1)求 $ \angle CPD $ 的度数；
(2)若 $ \odot O $ 的半径为 $ r $,则阴影部分的面积是____；
(3)当点 $ P $ 为 $ \overset{\frown}{BC} $ 的中点时, $ CP $ 是 $ \odot O $ 的内接正 $ n $ 边形的一边,则 $ n = $______。

(1)$45^{\circ}$;
(2)$\frac{1}{4}(\pi-2)r^{2}$;
(3)8