1. (广西百色中考改编)求经过 $ A(4,0) $，$ B(-2,0) $，$ C(0,3) $ 三点的抛物线对应的函数解析式。
要点突破 2 利用其他方法确定二次函数的解析式

1.解:$y=-\frac{3}{8}x²+\frac{3}{4}x+3.$

解：设抛物线对应的函数解析式为$y=ax²+bx+c$，将$A(4,0)$，$B(-2,0)$，$C(0,3)$分别代入得：
$\begin{cases}16a + 4b + c = 0 \\4a - 2b + c = 0 \\c = 3\end{cases}$
将$c=3$代入前两个方程得：
$\begin{cases}16a + 4b = -3 \\4a - 2b = -3\end{cases}$
由第二个方程得$4a = 2b - 3$，即$a = \frac{2b - 3}{4}$，代入第一个方程：
$16×\frac{2b - 3}{4} + 4b = -3$
$4(2b - 3) + 4b = -3$
$8b - 12 + 4b = -3$
$12b = 9$
$b = \frac{3}{4}$
将$b = \frac{3}{4}$代入$a = \frac{2b - 3}{4}$得：
$a = \frac{2×\frac{3}{4} - 3}{4} = \frac{\frac{3}{2} - 3}{4} = \frac{-\frac{3}{2}}{4} = -\frac{3}{8}$
所以抛物线对应的函数解析式为$y=-\frac{3}{8}x²+\frac{3}{4}x+3$。

【例2】若顶点为 $ (\frac{1}{2},-\frac{9}{4}) $ 的抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c $ 过点 $ M(2,0) $，则抛物线对应的函数解析式为。

答案:$y=x²-x-2$

解：设抛物线的顶点式为$y=a\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$。
因为抛物线过点$M(2,0)$，将$x=2$，$y=0$代入得：
$0 = a\left(2 - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$
$0 = a\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$
$0 = \frac{9}{4}a - \frac{9}{4}$
$\frac{9}{4}a = \frac{9}{4}$
$a = 1$
所以抛物线解析式为$y = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$，展开得：
$y = x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$
$y = x^2 - x - 2$
$y=x²-x-2$

2. 二次函数 $ y = -x^{2}+bx + c $ 的图象的最高点是 $ (-1,-3) $，则 $ b,c $ 的值分别是()

A.$ b = 2,c = 4 $
B.$ b = 2,c = -4 $
C.$ b = -2,c = 4 $
D.$ b = -2,c = -4 $

2.D

解：二次函数$y = -x^{2}+bx + c$的对称轴为$x = \frac{b}{2}$，因为最高点是$(-1,-3)$，所以对称轴$x=-1$，即$\frac{b}{2}=-1$，解得$b=-2$。
将$x=-1$，$y=-3$，$b=-2$代入函数得：$-(-1)^{2}+(-2)×(-1)+c=-3$，即$-1 + 2 + c=-3$，解得$c=-4$。
D

3. 求下列抛物线对应的函数解析式：
(1) 顶点坐标为 $ (4,-1) $，与 $ y $ 轴交于点 $ (0,3) $；
(2) 顶点在原点，且过点 $ (1,-1) $；
(3) 对称轴为直线 $ x = 2 $，且过点 $ (0,0) $，$ (-2,3) $；
(4) 过点 $ (-3,0) $，$ (1,0) $，$ (2,-5) $。

3.解:
(1)$y=\frac{1}{4}(x-4)²-1$,即$y=\frac{1}{4}x²-2x+3.$　
(2)$y=-x².$　
(3)$y=\frac{1}{4}x²-x.$　
(4)$y=-(x+3)(x-1)$,即$y=-x²-2x+3.$

1. 下列二次函数中，图象以直线 $ x = 2 $ 为对称轴且经过点 $ (0,1) $ 的是()

A.$ y = (x - 2)^{2}+1 $
B.$ y = (x + 2)^{2}+1 $
C.$ y = (x - 2)^{2}-3 $
D.$ y = (x + 2)^{2}-3 $

1.C

对于二次函数的顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$。
选项A：$y=(x - 2)^2 + 1$，对称轴为$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 + 1=4 + 1=5\neq1$，不符合。
选项B：$y=(x + 2)^2 + 1$，对称轴为$x=-2\neq2$，不符合。
选项C：$y=(x - 2)^2 - 3$，对称轴为$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 - 3=4 - 3=1$，符合。
选项D：$y=(x + 2)^2 - 3$，对称轴为$x=-2\neq2$，不符合。
C

2. 根据表格中的信息，若设 $ y = ax^{2}+bx + c $，则下列函数解析式正确的是()


A.$ y = x^{2}-4x + 3 $
B.$ y = x^{2}-3x + 4 $
C.$ y = x^{2}-3x + 3 $
D.$ y = x^{2}-4x + 8 $

2.A

解：当$x=1$时，$ax^{2}=1$，即$a×1^{2}=1$，解得$a=1$。
当$x=0$时，$ax^{2}+bx + c=3$，即$a×0^{2}+b×0 + c=3$，解得$c=3$。
当$x=-1$时，$ax^{2}+bx + c=8$，即$1×(-1)^{2}+b×(-1)+3=8$，$1 - b + 3=8$，解得$b=-4$。
所以函数解析式为$y=x^{2}-4x + 3$。
A

3. 一个二次函数的图象与抛物线 $ y = 3x^{2} $ 的形状相同、开口方向相反，且顶点为 $ (1,4) $，那么这个函数的解析式是。

3.y=-3x²+6x+1

解：设二次函数的解析式为$y=a(x-h)^2+k$。
因为与抛物线$y = 3x^{2}$的形状相同、开口方向相反，所以$a=-3$。
又因为顶点为$(1,4)$，即$h=1$，$k=4$，所以解析式为$y=-3(x - 1)^2+4$。
展开得$y=-3(x^2 - 2x + 1)+4=-3x^2 + 6x - 3 + 4=-3x^2 + 6x + 1$。
故这个函数的解析式是$y=-3x^2 + 6x + 1$。

4. (1) 已知二次函数的图象的对称轴为直线 $ x = 2 $，函数的最小值为 $ 3 $，且图象经过点 $ (-1,5) $，求此二次函数的解析式。
(2) 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c $，当 $ x = 0 $ 时，$ y = 1 $；当 $ x = -1 $ 时，$ y = 6 $；当 $ x = 1 $ 时，$ y = 0 $。求这个二次函数的解析式。

4.解:
(1)$y=\frac{2}{9}x²-\frac{8}{9}x+\frac{35}{9}.$　
(2)$y=2x²-3x+1.$