(1) 在研究 $ 2 ÷ \frac{2}{5} $ 如何计算的过程中,下列表达$\underline{}$的是()。
A.把它们化成计数单位相同的分数,可以得到：$ 2 ÷ \frac{2}{5} = \frac{10}{5} ÷ \frac{2}{5} = 10 ÷ 2 $
B.根据分数与除法的关系,可以得到：$ 2 ÷ \frac{2}{5} = 2 ÷ 2 ÷ 5 $
C.把分数化成小数,可以得到：$ 2 ÷ \frac{2}{5} = 2 ÷ 0.4 $
D.根据商不变的性质,可以得到：$ 2 ÷ \frac{2}{5} = (2 × \frac{5}{2}) ÷ (\frac{2}{5} × \frac{5}{2}) = 5 ÷ 1 $

B

选项A，将2化为$\frac{10}{5}$，与$\frac{2}{5}$计数单位相同，分子相除得$10÷2$，正确；选项B，分数与除法关系为$\frac{2}{5}=2÷5$，则$2÷\frac{2}{5}=2÷(2÷5)=2÷2×5$，而非$2÷2÷5$，错误；选项C，$\frac{2}{5}=0.4$，$2÷0.4$正确；选项D，根据商不变性质，被除数和除数同乘$\frac{5}{2}$，商不变，正确。

(2) 一个直角三角形的面积是$\frac{9}{10} cm^2$,一条直角边长$\frac{3}{5} cm$,另一条直角边长()。
A.$\frac{27}{50} cm$
B.$\frac{3}{2} cm$
C.$3 cm$
D.$\frac{3}{4} cm$

C

直角三角形的面积公式为$面积 = \frac{1}{2} × 直角边1 × 直角边2$。
设另一条直角边长为$x$，则：
$\frac{1}{2} × \frac{3}{5} × x = \frac{9}{10}$，
两边同时乘以$2$：
$\frac{3}{5} × x = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$，
两边同时乘以$\frac{5}{3}$：
$x = \frac{9}{5} × \frac{5}{3} = 3$。

2. 计算下面各题。
$ (5 - \frac{3}{10}) × (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) $
$ 15 - \frac{5}{4} ÷ 2 + \frac{1}{2} $
$ (\frac{2}{3} - \frac{4}{7} × \frac{7}{8}) ÷ \frac{1}{24} $
$ \frac{5}{6} × \frac{7}{13} + \frac{6}{13} ÷ \frac{6}{5} + \frac{5}{6} $

2.
1. $ (5 - \frac{3}{10}) × (\frac{3}{4} + \frac{1}{2}) $
= $ (\frac{50}{10} - \frac{3}{10}) × (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) $
= $ \frac{47}{10} × \frac{5}{4} $
= $ \frac{47}{8} $
2. $ 15 - \frac{5}{4} ÷ 2 + \frac{1}{2} $
= $ 15 - \frac{5}{4} × \frac{1}{2} + \frac{1}{2} $
= $ 15 - \frac{5}{8} + \frac{4}{8} $
= $ \frac{120}{8} - \frac{5}{8} + \frac{4}{8} $
= $ \frac{119}{8} $
3. $ (\frac{2}{3} - \frac{4}{7} × \frac{7}{8}) ÷ \frac{1}{24} $
= $ (\frac{2}{3} - \frac{1}{2}) × 24 $
= $ (\frac{4}{6} - \frac{3}{6}) × 24 $
= $ \frac{1}{6} × 24 $
= $ 4 $
4. $ \frac{5}{6} × \frac{7}{13} + \frac{6}{13} ÷ \frac{6}{5} + \frac{5}{6} $
= $ \frac{5}{6} × \frac{7}{13} + \frac{6}{13} × \frac{5}{6} + \frac{5}{6} $
= $ \frac{5}{6} × (\frac{7}{13} + \frac{6}{13} + 1) $
= $ \frac{5}{6} × 2 $
= $ \frac{5}{3} $

3. 解下列方程。
$ \frac{2}{3}x ÷ \frac{1}{2} = \frac{3}{4} $
$ \frac{3}{7}x - \frac{1}{4} = \frac{1}{5} $
$ \frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = \frac{8}{25} $
$ \frac{7}{10}x ÷ 5.6 = \frac{7}{8} $

1. $x = \frac{9}{16}$
2. $x = \frac{21}{20}$
3. $x = \frac{3}{10}$
4. $x = 7$

解方程：
1. $\frac{2}{3}x ÷ \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
解：$\frac{2}{3}x = \frac{3}{4} × \frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}x = \frac{3}{8}$
$x = \frac{3}{8} ÷ \frac{2}{3}$
$x = \frac{3}{8} × \frac{3}{2}$
$x = \frac{9}{16}$
2. $\frac{3}{7}x - \frac{1}{4} = \frac{1}{5}$
解：$\frac{3}{7}x = \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$
$\frac{3}{7}x = \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$
$\frac{3}{7}x = \frac{9}{20}$
$x = \frac{9}{20} ÷ \frac{3}{7}$
$x = \frac{9}{20} × \frac{7}{3}$
$x = \frac{21}{20}$
3. $\frac{2}{3}x + \frac{2}{5}x = \frac{8}{25}$
解：$\left(\frac{10}{15} + \frac{6}{15}\right)x = \frac{8}{25}$
$\frac{16}{15}x = \frac{8}{25}$
$x = \frac{8}{25} ÷ \frac{16}{15}$
$x = \frac{8}{25} × \frac{15}{16}$
$x = \frac{3}{10}$
4. $\frac{7}{10}x ÷ 5.6 = \frac{7}{8}$
解：$\frac{7}{10}x = \frac{7}{8} × 5.6$
$\frac{7}{10}x = \frac{7}{8} × \frac{28}{5}$
$\frac{7}{10}x = \frac{49}{10}$
$x = \frac{49}{10} ÷ \frac{7}{10}$
$x = \frac{49}{10} × \frac{10}{7}$
$x = 7$

4. 新题型 请以“$ \frac{2}{9} ÷ \frac{5}{18} = \frac{2}{9} × \frac{18}{5} $”为例,说说为什么“一个数除以一个分数等于乘这个分数的倒数”。(可以用文字描述或画图等形式来说明)

根据商不变的性质，被除数和除数同时乘除数的倒数（0除外），商不变。对于$\frac{2}{9} ÷ \frac{5}{18}$，除数$\frac{5}{18}$的倒数是$\frac{18}{5}$，将被除数$\frac{2}{9}$和除数$\frac{5}{18}$同时乘$\frac{18}{5}$，除数变为$\frac{5}{18} × \frac{18}{5} = 1$，被除数变为$\frac{2}{9} × \frac{18}{5}$，因此$\frac{2}{9} ÷ \frac{5}{18} = (\frac{2}{9} × \frac{18}{5}) ÷ (\frac{5}{18} × \frac{18}{5}) = \frac{2}{9} × \frac{18}{5} ÷ 1 = \frac{2}{9} × \frac{18}{5}$，即一个数除以一个分数等于乘这个分数的倒数。