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1. 下列函数表达式中,一定属于二次函数的是(
A.$ y= 3x-1 $
B.$ y= ax^{2}+bx+c $
C.$ y= 3x^{2}-2x+1 $
D.$ y= x^{2}+\frac{1}{x} $
C
).A.$ y= 3x-1 $
B.$ y= ax^{2}+bx+c $
C.$ y= 3x^{2}-2x+1 $
D.$ y= x^{2}+\frac{1}{x} $
答案
【解析】：
本题考察的是二次函数的定义。
二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
我们需要逐一检查每个选项，看它们是否符合二次函数的定义。
A选项：$y = 3x - 1$，这是一个一次函数，因为它只包含$x$的一次幂，没有$x^2$项，所以不符合二次函数的定义。
B选项：$y = ax^2 + bx + c$，虽然它看起来像是二次函数的一般形式，但如果$a = 0$，它就退化为一次函数。
因此，它不一定是二次函数，取决于$a$的值。
C选项：$y = 3x^2 - 2x + 1$，这是一个标准的二次函数形式，其中$a = 3 \neq 0$，$b = -2$，$c = 1$，完全符合二次函数的定义。
D选项：$y = x^2 + \frac{1}{x}$，这个表达式包含了一个分式项$\frac{1}{x}$，所以它不是整式函数，更不是二次函数。
综上所述，只有C选项一定属于二次函数。
【答案】：
C
本题考察的是二次函数的定义。
二次函数的一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
我们需要逐一检查每个选项，看它们是否符合二次函数的定义。
A选项：$y = 3x - 1$，这是一个一次函数，因为它只包含$x$的一次幂，没有$x^2$项，所以不符合二次函数的定义。
B选项：$y = ax^2 + bx + c$，虽然它看起来像是二次函数的一般形式，但如果$a = 0$，它就退化为一次函数。
因此，它不一定是二次函数，取决于$a$的值。
C选项：$y = 3x^2 - 2x + 1$，这是一个标准的二次函数形式，其中$a = 3 \neq 0$，$b = -2$，$c = 1$，完全符合二次函数的定义。
D选项：$y = x^2 + \frac{1}{x}$，这个表达式包含了一个分式项$\frac{1}{x}$，所以它不是整式函数，更不是二次函数。
综上所述，只有C选项一定属于二次函数。
【答案】：
C
2. 将二次函数$ y= (x+1)^{2}-2 $的图象沿x轴向右平移2个单位长度后,所得抛物线的函数表达式为(
A.$ y= (x+3)^{2}-2 $
B.$ y= (x+3)^{2}+2 $
C.$ y= (x-1)^{2}+2 $
D.$ y= (x-1)^{2}-2 $
D
).A.$ y= (x+3)^{2}-2 $
B.$ y= (x+3)^{2}+2 $
C.$ y= (x-1)^{2}+2 $
D.$ y= (x-1)^{2}-2 $
答案
解：二次函数$y=(x+1)^2 - 2$的顶点坐标为$(-1, -2)$。
沿$x$轴向右平移2个单位长度后，顶点的横坐标变为$-1 + 2 = 1$，纵坐标不变，新顶点坐标为$(1, -2)$。
所以平移后所得抛物线的函数表达式为$y=(x - 1)^2 - 2$。
答案：D
沿$x$轴向右平移2个单位长度后，顶点的横坐标变为$-1 + 2 = 1$，纵坐标不变，新顶点坐标为$(1, -2)$。
所以平移后所得抛物线的函数表达式为$y=(x - 1)^2 - 2$。
答案：D
3. 某烟花厂设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度$ h(\unit{m}) $与飞行时间$ t(\unit{s}) $之间的函数表达式为$ h= -\frac{5}{2}t^{2}+20t $. 若这种礼炮会在升到最高点时引爆,则从开始升空到引爆需要的时间为(
A.3s
B.4s
C.5s
D.6s
B
).A.3s
B.4s
C.5s
D.6s
答案
解：对于二次函数$h = -\frac{5}{2}t^{2} + 20t$，其中$a = -\frac{5}{2}$，$b = 20$。
因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})} = 4$。
故从开始升空到引爆需要的时间为$4s$。
答案：B
因为$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。
顶点的横坐标$t = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2×(-\frac{5}{2})} = 4$。
故从开始升空到引爆需要的时间为$4s$。
答案：B
4. “数形结合”是研究函数的重要思想方法,如果抛物线$ y= x^{2}+2x+m+5 $只经过两个象限,那么m的取值范围是(
A.$ m\geqslant -4 $
B.$ m ＜ -4 $
C.$ m ＜ -5 $
D.$ m\geqslant -5 $
A
).A.$ m\geqslant -4 $
B.$ m ＜ -4 $
C.$ m ＜ -5 $
D.$ m\geqslant -5 $
答案
解：抛物线$y = x^2 + 2x + m + 5$，开口向上。
对称轴为$x = -\frac{2}{2×1}=-1$。
当$x = 0$时，$y = m + 5$，即抛物线与$y$轴交点为$(0, m + 5)$。
若抛物线只经过两个象限，需满足：抛物线与$x$轴有且仅有一个交点或无交点，且与$y$轴交点在$y$轴负半轴。
$\Delta = 2^2 - 4×1×(m + 5)=4 - 4m - 20=-4m - 16$。
当$\Delta \leq 0$时，$-4m - 16 \leq 0$，解得$m \geq -4$。
此时抛物线与$x$轴无交点或有一个交点，要使抛物线只经过两个象限，需抛物线与$y$轴交点在$y$轴负半轴，即$m + 5 ＜ 0$，解得$m ＜ -5$。
但$m \geq -4$与$m ＜ -5$无交集，故考虑抛物线与$x$轴有两个交点，且其中一个交点为原点时，此时抛物线经过原点和另一个点，可能只经过两个象限。
把$(0,0)$代入抛物线得$0 = 0 + 0 + m + 5$，解得$m = -5$。
此时抛物线为$y = x^2 + 2x = x(x + 2)$，与$x$轴交于$(0,0)$和$(-2,0)$，开口向上，经过第一、二、三象限，不满足只经过两个象限。
当抛物线的顶点在$x$轴上，且与$y$轴交点在$y$轴负半轴时，顶点在$x$轴上即$\Delta = 0$，$m = -4$，此时抛物线为$y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，顶点为$(-1,0)$，与$y$轴交于$(0,1)$，经过第一、二象限，满足只经过两个象限。
当$m ＞ -4$时，抛物线与$y$轴交于$(0, m + 5)$，$m + 5 ＞ 1$，顶点在$x$轴上方，抛物线经过第一、二象限，满足只经过两个象限。
当$m = -5$时，抛物线经过第一、二、三象限；当$m ＜ -5$时，抛物线与$y$轴交于负半轴，开口向上，与$x$轴有两个交点（因为$\Delta = -4m - 16$，当$m ＜ -5$时，$\Delta ＞ 4$），经过第三、四象限和第一、二象限中的部分，不满足只经过两个象限。
综上，$m \geq -4$时，抛物线经过第一、二象限，只经过两个象限。
答案：A
对称轴为$x = -\frac{2}{2×1}=-1$。
当$x = 0$时，$y = m + 5$，即抛物线与$y$轴交点为$(0, m + 5)$。
若抛物线只经过两个象限，需满足：抛物线与$x$轴有且仅有一个交点或无交点，且与$y$轴交点在$y$轴负半轴。
$\Delta = 2^2 - 4×1×(m + 5)=4 - 4m - 20=-4m - 16$。
当$\Delta \leq 0$时，$-4m - 16 \leq 0$，解得$m \geq -4$。
此时抛物线与$x$轴无交点或有一个交点，要使抛物线只经过两个象限，需抛物线与$y$轴交点在$y$轴负半轴，即$m + 5 ＜ 0$，解得$m ＜ -5$。
但$m \geq -4$与$m ＜ -5$无交集，故考虑抛物线与$x$轴有两个交点，且其中一个交点为原点时，此时抛物线经过原点和另一个点，可能只经过两个象限。
把$(0,0)$代入抛物线得$0 = 0 + 0 + m + 5$，解得$m = -5$。
此时抛物线为$y = x^2 + 2x = x(x + 2)$，与$x$轴交于$(0,0)$和$(-2,0)$，开口向上，经过第一、二、三象限，不满足只经过两个象限。
当抛物线的顶点在$x$轴上，且与$y$轴交点在$y$轴负半轴时，顶点在$x$轴上即$\Delta = 0$，$m = -4$，此时抛物线为$y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$，顶点为$(-1,0)$，与$y$轴交于$(0,1)$，经过第一、二象限，满足只经过两个象限。
当$m ＞ -4$时，抛物线与$y$轴交于$(0, m + 5)$，$m + 5 ＞ 1$，顶点在$x$轴上方，抛物线经过第一、二象限，满足只经过两个象限。
当$m = -5$时，抛物线经过第一、二、三象限；当$m ＜ -5$时，抛物线与$y$轴交于负半轴，开口向上，与$x$轴有两个交点（因为$\Delta = -4m - 16$，当$m ＜ -5$时，$\Delta ＞ 4$），经过第三、四象限和第一、二象限中的部分，不满足只经过两个象限。
综上，$m \geq -4$时，抛物线经过第一、二象限，只经过两个象限。
答案：A
5. 关于二次函数$ y= -2x^{2}+1 $,下列说法中正确的是(
A.开口向上
B.顶点坐标是$ (-2,1) $
C.当$ x ＜ 0 $时,y随x的增大而增大
D.当$ x= 0 $时,y有最大值是$ \frac{1}{2} $
C
).A.开口向上
B.顶点坐标是$ (-2,1) $
C.当$ x ＜ 0 $时,y随x的增大而增大
D.当$ x= 0 $时,y有最大值是$ \frac{1}{2} $
答案
【解析】：
本题主要考察二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的性质，包括开口方向、顶点坐标、单调性和最值。
A选项：由于二次函数$y=-2x^{2}+1$的系数$a=-2＜0$，所以函数的开口方向是向下的，故A选项错误。
B选项：二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a})$，对于函数$y=-2x^{2}+1$，其顶点坐标为$(0,1)$，与B选项给出的$(-2,1)$不符，故B选项错误。
C选项：由于函数的开口方向是向下的，且二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，对于函数$y=-2x^{2}+1$，其对称轴为$x=0$，所以在对称轴左侧，即$x＜0$时，函数是单调递增的，即$y$随$x$的增大而增大，故C选项正确。
D选项：由于函数的开口方向是向下的，所以函数在对称轴$x=0$处取得最大值，即当$x=0$时，$y=1$，与D选项给出的$y$有最大值是$\frac{1}{2}$不符，故D选项错误。
【答案】：
C
本题主要考察二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的性质，包括开口方向、顶点坐标、单调性和最值。
A选项：由于二次函数$y=-2x^{2}+1$的系数$a=-2＜0$，所以函数的开口方向是向下的，故A选项错误。
B选项：二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^{2}}{4a})$，对于函数$y=-2x^{2}+1$，其顶点坐标为$(0,1)$，与B选项给出的$(-2,1)$不符，故B选项错误。
C选项：由于函数的开口方向是向下的，且二次函数$y=ax^{2}+bx+c$的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，对于函数$y=-2x^{2}+1$，其对称轴为$x=0$，所以在对称轴左侧，即$x＜0$时，函数是单调递增的，即$y$随$x$的增大而增大，故C选项正确。
D选项：由于函数的开口方向是向下的，所以函数在对称轴$x=0$处取得最大值，即当$x=0$时，$y=1$，与D选项给出的$y$有最大值是$\frac{1}{2}$不符，故D选项错误。
【答案】：
C
6. 已知抛物线$ y= ax^{2}+bx+c(a ＞ 0) 的对称轴为直线 x= 1 $,且抛物线经过点$ (-1,y_{1}),(2,y_{2}) $,则$ y_{1} 与 y_{2} $的大小关系是(
A.$ y_{1} ＞ y_{2} $
B.$ y_{1}= y_{2} $
C.$ y_{1} ＜ y_{2} $
D.不能确定
A
).A.$ y_{1} ＞ y_{2} $
B.$ y_{1}= y_{2} $
C.$ y_{1} ＜ y_{2} $
D.不能确定
答案
【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是对称轴的性质。
首先，根据二次函数的性质，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
由题意知，该抛物线的对称轴为$x = 1$，所以有$-\frac{b}{2a} = 1$，但这个等式在本题中并不需要直接求解，只是用来确认对称轴的位置。
接下来，考虑抛物线上的两个点$(-1, y_{1})$和$(2, y_{2})$。
点$(-1, y_{1})$到对称轴$x = 1$的距离为$|-1 - 1| = 2$。
点$(2, y_{2})$到对称轴$x = 1$的距离为$|2 - 1| = 1$。
由于$a ＞ 0$，所以抛物线开口向上。根据抛物线的性质，距离对称轴越远的点，其函数值越大。
因此，由于点$(-1, y_{1})$距离对称轴的距离大于点$(2, y_{2})$距离对称轴的距离，所以$y_{1} ＞ y_{2}$。
【答案】：
A. $y_{1} ＞ y_{2}$。
本题主要考察二次函数的性质，特别是对称轴的性质。
首先，根据二次函数的性质，抛物线$y = ax^{2} + bx + c$的对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$。
由题意知，该抛物线的对称轴为$x = 1$，所以有$-\frac{b}{2a} = 1$，但这个等式在本题中并不需要直接求解，只是用来确认对称轴的位置。
接下来，考虑抛物线上的两个点$(-1, y_{1})$和$(2, y_{2})$。
点$(-1, y_{1})$到对称轴$x = 1$的距离为$|-1 - 1| = 2$。
点$(2, y_{2})$到对称轴$x = 1$的距离为$|2 - 1| = 1$。
由于$a ＞ 0$，所以抛物线开口向上。根据抛物线的性质，距离对称轴越远的点，其函数值越大。
因此，由于点$(-1, y_{1})$距离对称轴的距离大于点$(2, y_{2})$距离对称轴的距离，所以$y_{1} ＞ y_{2}$。
【答案】：
A. $y_{1} ＞ y_{2}$。
7. 我们定义两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“和谐值”. 抛物线$ y= x^{2}-2x+3 $与直线 $ y= x-2 $ 的“和谐值”为(
A.3
B.$ \frac{11}{4} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.2
B
).A.3
B.$ \frac{11}{4} $
C.$ \frac{5}{2} $
D.2
答案
解：设抛物线上任意一点坐标为$(x, x^2 - 2x + 3)$，直线上与该点横坐标相同的点坐标为$(x, x - 2)$。
两函数在竖直方向上的距离$d = |(x^2 - 2x + 3) - (x - 2)| = |x^2 - 3x + 5|$。
因为$x^2 - 3x + 5$的二次项系数大于0，开口向上，其最小值为：
$x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$时，$y = (\frac{3}{2})^2 - 3×\frac{3}{2} + 5 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5 = \frac{11}{4}$。
所以$d$的最小值为$\frac{11}{4}$，即“和谐值”为$\frac{11}{4}$。
答案：B
两函数在竖直方向上的距离$d = |(x^2 - 2x + 3) - (x - 2)| = |x^2 - 3x + 5|$。
因为$x^2 - 3x + 5$的二次项系数大于0，开口向上，其最小值为：
$x = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$时，$y = (\frac{3}{2})^2 - 3×\frac{3}{2} + 5 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 5 = \frac{11}{4}$。
所以$d$的最小值为$\frac{11}{4}$，即“和谐值”为$\frac{11}{4}$。
答案：B
