5. 下列选项中,能使关于 x 的方程 $2x^{2}-bx+c= 0$ 一定有实数根的是()
A.$b＞0$
B.$b= 0$
C.$c＞0$
D.$c= 0$

D

对于方程 $2x^{2} - bx + c = 0$，其判别式为：
$\Delta = (-b)^2 - 4 \cdot 2 \cdot c = b^2 - 8c$，
方程有实数根的条件是 $\Delta \geq 0$，即：
$b^2 - 8c \geq 0$。
分析选项：
A. $b ＞ 0$：无法确保 $b^2 \geq 8c$，不满足一定有实数根的条件。
B. $b = 0$：此时 $\Delta = -8c$，若 $c ＞ 0$，则 $\Delta ＜ 0$，无实数根，不满足条件。
C. $c ＞ 0$：无法确保 $b^2 \geq 8c$，不满足一定有实数根的条件。
D. $c = 0$：此时 $\Delta = b^2 \geq 0$，方程一定有实数根。

6. 若关于 x 的一元二次方程 $mx^{2}-mx-\frac{1}{4}= 0$ 有两个相等的实数根,则 m 的值为.

-1

因为方程是一元二次方程，所以$m\neq0$。又因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = (-m)^2 - 4 × m × (-\frac{1}{4}) = m^2 + m = 0$，即$m(m + 1) = 0$，解得$m_1 = 0$（舍去），$m_2 = -1$。

7. 将直线 $y= 4x-3$ 向下平移 m 个单位长度 ($m＞0$),若点 $P(a,a^{2}+2a-3)$ 在平移后的直线上,则实数 m 的取值范围是.

$0 ＜ m \leq 1$

直线$y=4x-3$向下平移$m$个单位后解析式为$y=4x-3-m$。
∵点$P(a,a^2+2a-3)$在平移后的直线上，
∴$a^2+2a-3=4a-3-m$，
整理得$m=-a^2+2a$。
$m=-a^2+2a=-(a-1)^2+1$，
∵二次函数$m=-(a-1)^2+1$开口向下，最大值为$1$，
又$m＞0$，
∴$0＜m\leq1$。

8. 已知关于 x 的一元二次方程 $\frac{1}{2}mx^{2}+mx+m-1= 0$ 有两个相等的实数根.
(1) 求 m 的值;
(2) 解原方程.

(1) 对于一元二次方程$\frac{1}{2}mx^{2}+mx+m-1=0$，其中$a = \frac{1}{2}m$，$b = m$，$c = m - 1$。
因为方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，且$a \neq 0$（即$m \neq 0$）。
计算$\Delta$：
$\begin{aligned}\Delta &= m^2 - 4 × \frac{1}{2}m × (m - 1) \\&= m^2 - 2m(m - 1) \\&= m^2 - 2m^2 + 2m \\&= -m^2 + 2m\end{aligned}$
令$\Delta = 0$，得$-m^2 + 2m = 0$，即$m(m - 2) = 0$，解得$m = 0$或$m = 2$。
又因$m \neq 0$，故$m = 2$。
(2) 将$m = 2$代入原方程，得：
$\frac{1}{2} × 2x^2 + 2x + 2 - 1 = 0 \implies x^2 + 2x + 1 = 0$
方程可化为$(x + 1)^2 = 0$，解得$x_1 = x_2 = -1$。
(1) $m = 2$
(2) $x_1 = x_2 = -1$

9. 已知关于 x 的一元二次方程 $2x^{2}-4x+m= 0$,其中 m 为常数.
(1) 若该方程有两个相等的实数根,请求出这两个根;
(2) 若 $m+n^{2}= 1$,试判断该方程根的情况.

(1) ∵方程有两个相等的实数根，∴判别式$\Delta =(-4)^2 - 4×2×m = 16 - 8m = 0$，解得$m = 2$。将$m = 2$代入原方程得$2x^2 - 4x + 2 = 0$，即$x^2 - 2x + 1 = 0$，$(x - 1)^2 = 0$，∴$x_1 = x_2 = 1$。
(2) 由$m + n^2 = 1$得$m = 1 - n^2$。判别式$\Delta = 16 - 8m = 16 - 8(1 - n^2) = 16 - 8 + 8n^2 = 8 + 8n^2$。∵$n^2 \geq 0$，∴$8n^2 \geq 0$，$\Delta = 8 + 8n^2 \geq 8 ＞ 0$，∴方程有两个不相等的实数根。