1. 下列各式不是多项式$a^{3}b - 4ab$的因式的是()
A.$ab$
B.$a + 2$
C.$a - 2$
D.$a - 4$

D

首先对多项式 $a^{3}b - 4ab$ 进行因式分解。
提取公因式 $ab$，得到：
$a^{3}b - 4ab = ab(a^{2} - 4)$，
再对 $a^{2} - 4$ 使用平方差公式，得到：
$a^{2} - 4 = (a + 2)(a - 2)$，
所以，原式可以分解为 ：
$a^{3}b - 4ab = ab(a + 2)(a - 2)$。
从上述分解中，可以看出 $ab$， $a + 2$ 和 $a - 2$ 都是原多项式的因式，而 $a - 4$ 不是。

2. 因式分解：$5m^{2} - 5= $.

$5(m + 1)(m - 1)$

首先提取公因式$5$，得到$5(m^2 - 1)$，然后利用平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$对$m^2 - 1$进行因式分解，即$m^2 - 1 = (m + 1)(m - 1)$。所以$5m^2 - 5 = 5(m + 1)(m - 1)$。

题型1 分解因式：$(a^{2} + b^{2})^{2} - 4a^{2}b^{2}$.

题型1
解：
$\begin{aligned}&(a^{2} + b^{2})^{2} - 4a^{2}b^{2}\\=&(a^{2} + b^{2})^{2}-(2ab)^{2}\\=&(a^{2}+b^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-2ab)\\=&(a + b)^{2}(a - b)^{2}\end{aligned}$
 

题型2 若$a + b = - 3$,$ab = 1$,求$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值.

解：
$\begin{aligned}&a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}\\=&ab(a^{2}+2ab + b^{2})\\=&ab(a + b)^{2}\end{aligned}$
将$a + b = - 3$，$ab = 1$代入上式得：
$1×(-3)^{2}=1×9 = 9$
所以$a^{3}b + 2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为$9$。

题型3 已知实数$a$,$b$,$c$,$m$,$n满足2m + n= \frac{b}{a}$,$mn= \frac{c}{a}$. 求证：$b^{2} - 8ac$为非负数.

解(证明)：
已知$2m + n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$。
由$2m + n=\frac{b}{a}$可得$n=\frac{b}{a}-2m$。
将$n=\frac{b}{a}-2m$代入$mn=\frac{c}{a}$中，得到$m(\frac{b}{a}-2m)=\frac{c}{a}$。
展开式子：$\frac{bm}{a}-2m^{2}=\frac{c}{a}$。
两边同时乘以$a$得到：$bm - 2am^{2}=c$，移项可得$2am^{2}-bm + c = 0$。
因为$m$是实数，对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0$（这里$A = 2a$，$B=-b$，$C = c$），其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$。
在方程$2am^{2}-bm + c = 0$中，$\Delta=(-b)^{2}-4×(2a)× c=b^{2}-8ac$。
由于$m$是实数，所以一元二次方程$2am^{2}-bm + c = 0$有实数根，那么判别式$\Delta\geqslant0$，即$b^{2}-8ac\geqslant0$。
所以$b^{2}-8ac$为非负数。

题型4 有一种因式分解法可以产生密码,例如$x^{4} - y^{4}= (x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})$,当$x = 8$,$y = 8$时,$x - y = 0$,$x + y = 16$,$x^{2} + y^{2}= 128$,则密码可为016128. 对于多项式$9a^{3}-ab^{2}$,取$a = 10$,$b = 10$,用上述方法产生的密码是什么？(写出一个即可)

1. 首先对多项式$9a^{3}-ab^{2}$进行因式分解：
提取公因式$a$得：$9a^{3}-ab^{2}=a(9a^{2}-b^{2})$。
再根据平方差公式$m^{2}-n^{2}=(m - n)(m + n)$（这里$m = 3a$，$n = b$），进一步分解$9a^{2}-b^{2}$，则$9a^{3}-ab^{2}=a(3a - b)(3a + b)$。
2. 然后将$a = 10$，$b = 10$代入：
当$a = 10$时，$a=10$；
当$a = 10$，$b = 10$时，$3a - b=3×10 - 10=30 - 10 = 20$；
当$a = 10$，$b = 10$时，$3a + b=3×10 + 10=30 + 10 = 40$。
所以产生的密码可以是$102040$（答案不唯一）。

1. 下列将多项式$3a^{2} - 6a + 3$因式分解正确的是()
A.$3a(a - 2)+3$
B.$3(a^{2} - 2a + 1)$
C.$3(a - 1)(a + 1)$
D.$3(a - 1)^{2}$

D

本题可先提取公因式，再利用完全平方公式对多项式进行因式分解。
步骤一：提取公因式$3$
观察多项式$3a^{2} - 6a + 3$，每一项都含有公因式$3$，提取公因式$3$后可得：$3a^{2} - 6a + 3=3(a^{2} - 2a + 1)$。
步骤二：利用完全平方公式继续分解
根据完全平方公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，在$a^{2} - 2a + 1$中，$m = a$，$n = 1$，则$a^{2} - 2a + 1=(a - 1)^{2}$。
所以$3a^{2} - 6a + 3=3(a - 1)^{2}$。