1. 下列计算中正确的是()
A.$(x + y)^2 = x^2 + y^2$
B.$(a - b)^2 = a^2 - 2ab - b^2$
C.$(-a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
D.$(3a + 1)^2 = 3a^2 + 6a + 1$

C

A. 根据完全平方公式，$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，与 $x^2 + y^2$ 不相等，所以 A 错误。
B. 根据完全平方公式，$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，与 $a^2 - 2ab - b^2$ 不相等，所以 B 错误。
C. 根据完全平方公式，$(-a + b)^2 = (-a)^2 - 2(-a)b + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$，与题目中给出的 $a^2 - 2ab + b^2$ 相等，所以 C 正确。
D. 根据完全平方公式，$(3a + 1)^2 = (3a)^2 + 2(3a)(1) + 1^2 = 9a^2 + 6a + 1$，与 $3a^2 + 6a + 1$ 不相等，所以 D 错误。

2. 形如 $a^2 + 2ab + b^2$ 和 $a^2 - 2ab + b^2$ 的式子称为完全平方式. 若 $x^2 + ax + 4$ 是一个完全平方式,则常数 $a$ 等于()
A.2
B.4
C.$\pm 2$
D.$\pm 4$

D

因为$x^2 + ax + 4$是完全平方式，所以$x^2 + ax + 4 = (x\pm2)^2$。展开得$x^2\pm4x + 4$，对比系数可得$a = \pm4$。

3. $ab = -2$ 且 $a^2 + b^2 = 5$,则 $a + b = $.

$\pm1$

因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，已知$ab=-2$，$a^2 + b^2=5$，所以$(a + b)^2=5 + 2×(-2)=5 - 4=1$，则$a + b=\pm1$。

4. 计算:
(1) $\left(-a - \frac{5}{3}b\right)^2$; (2) $302^2$;
(3) $\left(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y\right)^2$;
(4) $(2x + 3y)^2 - (x + y)(x - 2y)$.

(1)
$\begin{aligned} \left(-a - \frac{5}{3}b\right)^2 = (-a)^2 + 2×(-a)×\left(-\frac{5}{3}b\right) + \left(-\frac{5}{3}b\right)^2 = a^2 + \frac{10}{3}ab + \frac{25}{9}b^2 \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} 302^2 = (300 + 2)^2 = 300^2 + 2×300×2 + 2^2 = 90000 + 1200 + 4 = 91204 \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\left(\frac{2}{3}x + \frac{1}{4}y\right)^2 - \left(\frac{2}{3}x - \frac{1}{4}y\right)^2\\=&\left(\frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2\right) - \left(\frac{4}{9}x^2 - \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2\right)\\=&\frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy + \frac{1}{16}y^2 - \frac{4}{9}x^2 + \frac{1}{3}xy - \frac{1}{16}y^2\\=&\frac{2}{3}xy\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&(2x + 3y)^2 - (x + y)(x - 2y)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - (x^2 - 2xy + xy - 2y^2)\\=&4x^2 + 12xy + 9y^2 - x^2 + xy + 2y^2\\=&3x^2 + 13xy + 11y^2\end{aligned}$

5. 先化简,再求值: $[(2a - b)^2 - (b + 2a) \cdot (b - 2a)] ÷ (4a)$,其中 $a = \frac{1}{2}$, $b = 2$.

$-1$。

解题过程如下：
原式$=\left[ (4a^{2} - 4ab + b^{2}) - (b^{2} - 4a^{2}) \right] ÷ (4a)$
$=\left[ 4a^{2} - 4ab + b^{2} - b^{2} + 4a^{2} \right] ÷ (4a)$
$=\left[ 8a^{2} - 4ab \right] ÷ (4a)$
$= 2a - b$
代入 $a = \frac{1}{2}$，$b = 2$，
$2a - b= 2 × \frac{1}{2} - 2 = 1 - 2 = -1$
最终

6. 如图1是一个长为 $2m$、宽为 $2n$ 的长方形,沿图中虚线用剪刀将其均分成四块,然后按图2拼成一个正方形.

(1) 图2中的阴影部分正方形的边长等于多少?

(2) 请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积.
方法1:;
方法2:.
(3) 观察图2,你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式: $(m + n)^2$, $(m - n)^2$, $mn$.
.
(4) 根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:
若 $a - b = 7$, $ab = 5$,则 $(a + b)^2 = $.
(5) 若 $a + b = -3$, $ab = -28$,则 $a - b = $.

(1) $m - n$。
(2) 方法1：$(m - n)^2$；
方法2：$(m + n)^2 - 4mn$。
(3) $(m + n)^2 - 4mn = (m - n)^2$。
(4)
$\because (a - b)^2 + 4ab = (a + b)^2$，
将$a - b = 7,ab = 5$代入得：
$(a + b)^2 = 7^2 + 4× 5 = 69$。
故答案为：$69$。
(5)
$\because (a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，
将$a + b = -3,ab = -28$代入得：
$(a - b)^2 = (-3)^2 - 4× (-28) = 121$，
$\therefore a - b = \pm 11$。
故答案为：$\pm 11$。

添括号法则：$a + b + c = a + ($$)$；$a - b - c = a - ($$)$.
思考 正确添括号的关键是什么？
填空 $a - b - c + 1 = a - b + ($$)$；$a - b - c + 1 = a - ($$)$.

$b + c$；$b + c$；$-c + 1$；$b + c - 1$；正确添括号的关键是括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。

根据添括号法则，括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。
$a + b + c = a + (b + c)$；$a - b - c = a - (b + c)$。
$a - b - c + 1 = a - b + (-c + 1)$；$a - b - c + 1 = a - (b + c - 1)$。
正确添括号的关键是：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号。

例1 填空：$a^{2} - ab - b^{3} + ab^{2} = (a^{2} - ab) - ($$) = a^{2} - ($$) + ab^{2} = (a^{2} - b^{3}) + ($$)$.
名师导引 添括号时要注意哪些项在括号外,哪些项在括号内.
变式训练 在括号里填上适当的项,使其符合$(a + b)(a - b)$的形式.
(1)$(a + b - c)(a - b + c) = [a + ($$)][a - ($$)]$；
(2)$(2a - b - c)( - 2a - b + c) = [($$) + ($$)][($$) - ($$)]$.

例1：$b^{3}-ab^{2}$；$ab + b^{3}$；$ab^{2}-ab$
变式训练：
(1)$b - c$；$b - c$
(2)$-b$；$2a - c$；$-b$；$2a - c$