6. 关于x的分式方程$x + \frac{1}{x} = c + \frac{1}{c}的解是x_1 = c$,$x_2 = \frac{1}{c}$；$x - \frac{1}{x} = c - \frac{1}{c}$,即$x + \frac{-1}{x} = c + \frac{-1}{c}的解是x_1 = c$,$x_2 = - \frac{1}{c}$；$x + \frac{2}{x} = c + \frac{2}{c}的解是x_1 = c$,$x_2 = \frac{2}{c}$；$x + \frac{3}{x} = c + \frac{3}{c}的解是x_1 = c$,$x_2 = \frac{3}{c}$。
(1)请观察上述方程及其解的特征猜想关于x的方程$x + \frac{a}{x} = c + \frac{a}{c}(a ≠ 0)$的解是什么,并利用方程的解的概念进行验证；
(2)由上述的观察、比较、猜想、验证可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和,方程右边的形式与左边相同,只是把其中的未知数换成某个常数,那么这样的方程可以直接得解。请你利用这个结论解关于x的方程：$x + \frac{4}{x - 1} = m + \frac{4}{m - 1}$。

(1)猜想：方程$x + \frac{a}{x} = c + \frac{a}{c}(a ≠ 0)$的解是$x_1 = c$，$x_2 = \frac{a}{c}$。
验证：当$x = c$时，左边$= c + \frac{a}{c}$，右边$= c + \frac{a}{c}$，左边=右边，故$x = c$是方程的解；当$x = \frac{a}{c}$时，左边$= \frac{a}{c} + \frac{a}{\frac{a}{c}} = \frac{a}{c} + c$，右边$= c + \frac{a}{c}$，左边=右边，故$x = \frac{a}{c}$是方程的解。
(2)原方程$x + \frac{4}{x - 1} = m + \frac{4}{m - 1}$可变形为$(x - 1) + \frac{4}{x - 1} = (m - 1) + \frac{4}{m - 1}$。设$y = x - 1$，则方程变为$y + \frac{4}{y} = (m - 1) + \frac{4}{m - 1}$。由(1)结论得$y_1 = m - 1$，$y_2 = \frac{4}{m - 1}$。
当$y = m - 1$时，$x - 1 = m - 1$，解得$x = m$；当$y = \frac{4}{m - 1}$时，$x - 1 = \frac{4}{m - 1}$，解得$x = \frac{4}{m - 1} + 1 = \frac{m + 3}{m - 1}$。
综上，方程的解为$x_1 = m$，$x_2 = \frac{m + 3}{m - 1}$。

7. (2024·重庆)若关于x的不等式组$\begin{cases}\frac{4x - 1}{3} ＜ x + 1, \\ 2(x + 1) ≥ -x + a\end{cases} $至少有2个整数解,且关于y的分式方程$\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$的解为非负整数,则所有满足条件的整数a的和为。

$16$

首先解不等式$\frac{4x - 1}{3} \lt x + 1$，
去分母得：$4x-1\lt 3x+3$，
移项合并得：$x\lt 4$。
然后解不等式$2(x + 1)\geq -x + a$，
去括号得：$2x+2\geq -x + a$，
移项合并得：$3x\geq a - 2$，
解得：$x\geq \frac{a - 2}{3}$。
因为不等式组至少有$2$个整数解，所以$\frac{a - 2}{3}\leq 2$，
解得：$a\leq 8$。
接着解分式方程$\frac{a - 1}{y - 1} = 2 - \frac{3}{1 - y}$，
方程两边同乘$(y - 1)$得：$a - 1 = 2(y - 1)+3$，
去括号得：$a - 1 = 2y - 2 + 3$，
移项合并得：$2y=a - 2$，
解得：$y=\frac{a - 2}{2}$。
因为分式方程的解为非负整数，所以$\frac{a - 2}{2}\geq 0$且$\frac{a - 2}{2}\neq 1$，
解得：$a\geq 2$且$a\neq 4$。
又因为$y=\frac{a - 2}{2}$为整数，所以$a$为偶数。
满足$2\leq a\leq 8$且$a\neq 4$的偶数$a$为$2$，$6$，$8$，和为$16$。

列分式方程解应用题的一般步骤:设、、解、、答.
思考
工程问题、行程问题、利润问题中分别有哪些量?这些量的关系分别是怎样的?
填空
“六一”期间,小张销售钢笔的总利润为1000元.若每支钢笔的利润为x元,则小张售出的钢笔支数为:.

列；验；$\frac{1000}{x}$

列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答。
工程问题中的量：工作总量、工作效率、工作时间，关系：工作总量=工作效率×工作时间；行程问题中的量：路程、速度、时间，关系：路程=速度×时间；利润问题中的量：总利润、单件利润、销售量，关系：总利润=单件利润×销售量。
“六一”期间，小张销售钢笔的总利润为1000元，每支钢笔的利润为x元，根据总利润=单件利润×销售量，可得销售量=总利润÷单件利润，即售出的钢笔支数为$\frac{1000}{x}$。

例1 甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线.已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍,如果两队各自修建快线2.4km,甲队比乙队少用4天.
(1)甲、乙两个工程队每天各修路多少km?
(2)现计划再修建长度为12km的快线,由甲、乙两个工程队来完成.若甲队每天所需费用为1万元,乙队每天所需费用为0.6万元,且总费用不超过38万元,至少应安排乙工程队施工多少天?

(1)设乙工程队每天修路$x$ km，则甲工程队每天修路$1.5x$ km。
根据题意，甲队修2.4km所需天数比乙队少4天，可以列出方程：
$\frac{2.4}{x} - \frac{2.4}{1.5x} = 4$
解这个方程，首先找公共分母，即$1.5x$，然后合并同类项：
$\frac{2.4 × 1.5 - 2.4}{1.5x} = 4$
$\frac{3.6 - 2.4}{1.5x} = 4$
$\frac{1.2}{1.5x} = 4$
$1.2 = 6x$
$x = 0.2$
经检验，$x = 0.2$是原方程的解，且符合题意。
因此，甲工程队每天修路$1.5 × 0.2 = 0.3(km)$。
答：甲工程队每天修路0.3km，乙工程队每天修路0.2km。
(2)设安排乙工程队施工$y$天，则乙工程队完成$0.2y$ km的修路长度。
甲工程队需要完成剩下的$12 - 0.2y$ km，所需天数为$\frac{12 - 0.2y}{0.3}$天。
根据题意，总费用不超过38万元，可以列出不等式：
$0.6y + \frac{12 - 0.2y}{0.3} × 1 \leq 38$
解这个不等式：
$0.6y + \frac{12 - 0.2y}{0.3} \leq 38$
$0.6y + 40 - \frac{2}{3}y \leq 38$
$\frac{1.8y - 2y}{3} \leq -2$
$-\frac{0.2y}{3} \leq -2$
$0.2y \geq 6$
$y \geq 30$
答：至少应安排乙工程队施工30天。