4. 如图,数学活动课上,小宇带着组员测量学校博智楼 AB 的高度. 他们在大树 DE 与博智楼 AB 之间找到了一点 C,测得∠ACB 与∠DCE 互余,且 BC = DE = 10 米,又测得 BE = 28 米. 请你求出博智楼 AB 的高度.

∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠DEC=90°．
∵∠ACB与∠DCE互余，∴∠ACB+∠DCE=90°．
在Rt△ABC中，∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE（同角的余角相等）．
在△ABC和△ECD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAC=∠DCE,\\ ∠ABC=∠DEC,\\ BC=DE,\end{array}\right.$
∴△ABC≌△ECD（AAS）．
∴AB=CE（全等三角形对应边相等）．
∵B，C，E三点共线，BE=28米，BC=10米，
∴CE=BE-BC=28-10=18米．
∴AB=18米．
答：博智楼AB的高度为18米．

5. 如图,在△ABC 和△CDE 中,点 D 在 AB 上,AC 与 DE 交于点 F,AB//CE.

(1)如图 1,若∠A = 47°,∠DCE = 82°,CD 平分∠ACB,求∠B 的度数；
(2)如图 2,若点 F 为 AC 的中点,过点 D 作 DM⊥DA,DN⊥DC 且 DM = DA,DN = DC,连接 MN. 求证：MN = 2EF.

(1)∵AB//CE，∴∠BDC=∠DCE=82°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠ADC+∠BDC=180°（平角定义），∴∠ADC=180°-82°=98°。
在△ADC中，∠A=47°，∠ADC=98°，
∴∠ACD=180°-∠A-∠ADC=180°-47°-98°=35°（三角形内角和定理）。
∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠ACD=2×35°=70°（角平分线定义）。
在△ABC中，∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-47°-70°=63°（三角形内角和定理）。
(2)证明：
∵AB//CE，∴∠ADF=∠CEF（两直线平行，内错角相等）。
∵F为AC中点，∴AF=CF。
在△AFD和△CFE中，
∠ADF=∠CEF，∠AFD=∠CFE（对顶角相等），AF=CF，
∴△AFD≌△CFE（AAS）。∴DF=EF，AD=CE。∴DE=DF+EF=2EF。
∵DM⊥DA，DN⊥DC，∴∠MDA=∠NDC=90°（垂直定义）。
∴∠MDN=∠MDA+∠NDC-∠ADC=90°+90°-∠ADC=180°-∠ADC（角的和差）。
∵AB//CE，∴∠BDC=∠DCE（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BDC=180°-∠ADC（平角定义），∴∠DCE=180°-∠ADC。∴∠MDN=∠DCE。
∵DM=DA，AD=CE，∴DM=CE。
在△MDN和△ECD中，
DM=CE，∠MDN=∠DCE，DN=DC，
∴△MDN≌△ECD（SAS）。∴MN=DE。∴MN=2EF。

三角形全等的判定：三边分别的两个三角形全等. (可以简写成“边边边”或“SSS”)
思考 一个三角形三边确定,它的形状、大小还会改变吗？

对应相等；不会改变

根据三角形全等的判定定理“SSS”，三边分别对应相等的两个三角形全等。对于思考问题，由三角形的稳定性可知，一个三角形三边确定，它的形状、大小不会改变。

例1 如图,已知 $ AB = AC $,要用“SSS”证明 $ \triangle ABD \cong \triangle ACD $,需增加的一个条件是.

$BD=CD$

根据题意，已知$AB=AC$，且$AD$为公共边，即$AD=AD$。
根据“$SSS$”全等条件，要证明$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，需要三组对应边相等，已有$AB=AC$和$AD=AD$，故需要增加的条件是$BD=CD$。

变式训练 阅读并完成下面的推理过程,补充括号内的理由：
已知： AE = DE , EB = EC , AB = DC . 求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DCB .$

证明：因为 AE = DE , EC = EB (已知),
所以 AE + EC = + (等式的性质),即 CA = BD .
在$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DCB $ 中,
AB = DC (已知),
AC = DB (已证),
BC = CB (公共边),
所以$ \triangle $$ \cong \triangle $().

证明：因为 AE = DE, EC = EB (已知),
所以 AE + EC = DE + EB (等式的性质),即 CA = BD.
在△ABC 和△DCB 中,
AB = DC (已知),
AC = DB (已证),
BC = CB (公共边),
所以△ABC ≌△DCB (SSS).

例2 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,现想利用三角形全等证明 $ \angle B = \angle C $,若证三角形全等所用的是基本事实“SSS”,则图中需添加的辅助线应是.

名师导引 当我们要用“SSS”证明两个三角形全等,差条件时,添加辅助线考虑“公共边”不失为一个好办法.

连接BC边上的中线AD（或作BC边上的中线AD）

要利用“SSS”证明∠B=∠C，需构造两个全等三角形。已知AB=AC，可添加辅助线AD，使AD为公共边，且BD=CD。因此，添加的辅助线是连接BC边上的中线AD（或作BC边上的中线AD）。