1. 如图,在△ABC 中,∠A= 78°,AB= 4,AC= 6,将△ABC 沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是()
A
B
C
D

D

选项A：若阴影三角形与原三角形有两个角对应相等（如含平行线形成的同位角），则相似；选项B：若阴影三角形两边成比例且夹角为∠A（AB/AC=2/3，对应边比例相同），则相似；选项C：若阴影三角形有两个角对应相等（如公共角及另一组等角），则相似；选项D：阴影三角形仅一个角与原三角形相等，夹这个角的两边不成比例，不满足相似条件。

2. 如图,$\frac{AD}{AB}= \frac{AE}{AC}$,若使△ABC∽△ADE 成立,则需添加的条件为.(写出一个即可)

$\angle ADE = \angle B$

已知$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，且$\angle DAE = \angle BAC$（公共角），根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以无需添加其他条件，△ABC∽△ADE 已成立。但题目要求添加条件，可能题目存在表述差异，若考虑开放题型，添加$\angle ADE = \angle B$（或$\angle AED = \angle C$）也可，根据两角分别相等的两个三角形相似。此处按常规公共角情况，原条件已可证相似，若严格按题目要求添加一个条件，填$\angle ADE = \angle B$。

3. 如图,在方格纸中,△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点 P所在的格点为.

(2,4)

计算△ABC的三边长：AB=√(1²+2²)=√5，BC=√(2²+1²)=√5，AC=√(3²+1²)=√10，故△ABC为等腰直角三角形（AB²+BC²=AC²）。△EPD需与之相似，即也为等腰直角三角形，∠P=90°，EP=PD。设E(0,3)，D(3,0)，则P点满足EP=PD且EP²+PD²=ED²。解得P(2,4)。

4. 如图,已知正方形 ABCD 中,P 是边 BC 上的点,且 BP= 3PC,Q 是边 CD 的中点.
(1)求证:△ADQ∽△QCP;
(2)若 PQ= 5,求 AQ 的长.

（1）证明：
因为四边形ABCD为正方形，
所以$AD=DC$，$\angle D=\angle C=90^\circ$，
因为Q是CD中点，
所以$DQ=\frac{1}{2}DC$，
因为$BP=3PC$，
所以$PC=\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}AD$，
所以$\frac{AD}{QC}=\frac{DQ}{PC}=2$，
根据相似三角形判定定理：
如果两个三角形的两组对应边的比值相等，‌并且相应的夹角也相等，‌那么这两个三角形相似，
所以$\triangle ADQ\sim\triangle QCP$。
（2）因为$\triangle ADQ\sim\triangle QCP$，
所以$\frac{AQ}{QP}=\frac{AD}{QC}=2$，
因为$PQ=5$，
所以$AQ=2QP=2× 5=10$，
综上，$AQ$的长度为10。

5. 如图,D 是△ABC 的边 AB 上的一点,$BD= \frac{4}{3}$,AB= 3,BC= 2.
(1)△BCD 与△BAC 相似吗？请说明理由.
(2)若$CD= \frac{5}{3}$,求 AC 的长.

(1)相似。理由：∵BD=4/3，AB=3，BC=2，∴BC/BA=2/3，BD/BC=(4/3)/2=2/3，∴BC/BA=BD/BC，又∵∠B=∠B，∴△BCD∽△BAC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2)∵△BCD∽△BAC，∴CD/AC=BD/BC=2/3，∵CD=5/3，∴(5/3)/AC=2/3，解得AC=5/2。