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8. 已知函数$ y= (m+3)x^{m^2-7}。$
(1)m 取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m 取什么值时,此函数是反比例函数？
(3)m 取什么值时,此函数是二次函数？
(1)m 取什么值时,此函数是正比例函数？
(2)m 取什么值时,此函数是反比例函数？
(3)m 取什么值时,此函数是二次函数？
答案
(1) 对于正比例函数，需满足：$m^2 - 7 = 1$且$m + 3 \neq 0$。
由$m^2 - 7 = 1$，得$m^2 = 8$，解得$m = \pm 2\sqrt{2}$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = \pm 2\sqrt{2}$。
(2) 对于反比例函数，需满足：$m^2 - 7 = -1$且$m + 3 \neq 0$。
由$m^2 - 7 = -1$，得$m^2 = 6$，解得$m = \pm \sqrt{6}$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = \pm \sqrt{6}$。
(3) 对于二次函数，需满足：$m^2 - 7 = 2$且$m + 3 \neq 0$。
由$m^2 - 7 = 2$，得$m^2 = 9$，解得$m = \pm 3$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = 3$。
(1)$m = \pm 2\sqrt{2}$
(2)$m = \pm \sqrt{6}$
(3)$m = 3$
由$m^2 - 7 = 1$，得$m^2 = 8$，解得$m = \pm 2\sqrt{2}$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = \pm 2\sqrt{2}$。
(2) 对于反比例函数，需满足：$m^2 - 7 = -1$且$m + 3 \neq 0$。
由$m^2 - 7 = -1$，得$m^2 = 6$，解得$m = \pm \sqrt{6}$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = \pm \sqrt{6}$。
(3) 对于二次函数，需满足：$m^2 - 7 = 2$且$m + 3 \neq 0$。
由$m^2 - 7 = 2$，得$m^2 = 9$，解得$m = \pm 3$。
又$m + 3 \neq 0$，即$m \neq -3$，所以$m = 3$。
(1)$m = \pm 2\sqrt{2}$
(2)$m = \pm \sqrt{6}$
(3)$m = 3$
9. 百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出 20 件,每件盈利 40 元。为了迎接儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销量,增加盈利,减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价 2.5 元,那么平均每天就可多售出 5 件。设每件童装降价 x 元,每天盈利 y 元。
(1)如果每件衬衫降价 5 元,商场每天赢利多少元？
解：
降价5元时，多售出的件数为$\frac{5}{2.5} × 5 = 10$件，即总销量为$20+10=30$件。
每件盈利为$40-5=35$元。
所以，商场每天的盈利为$30 × 35 = 1050$元。
(2)试写出 y 与 x 之间的函数表达式：______。
(3)要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元？
解：
根据题意，我们有方程$-2x^2 + 60x + 800 = 1200$。
整理得$x^2 - 30x + 200 = 0$。
解此方程得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
考虑到题目中的“扩大销量，增加盈利，减少库存”，我们应选择更大的$x$值，即$x=20$。
答：每件童装应降价20元。
(1)如果每件衬衫降价 5 元,商场每天赢利多少元？
解：
降价5元时，多售出的件数为$\frac{5}{2.5} × 5 = 10$件，即总销量为$20+10=30$件。
每件盈利为$40-5=35$元。
所以，商场每天的盈利为$30 × 35 = 1050$元。
(2)试写出 y 与 x 之间的函数表达式：______。
$y = -2x^2 + 60x + 800$
(3)要想平均每天销售这种童装盈利 1200 元,那么每件童装应降价多少元？
解：
根据题意，我们有方程$-2x^2 + 60x + 800 = 1200$。
整理得$x^2 - 30x + 200 = 0$。
解此方程得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
考虑到题目中的“扩大销量，增加盈利，减少库存”，我们应选择更大的$x$值，即$x=20$。
答：每件童装应降价20元。
答案
(1)解：
降价$5$元时，多售出的件数为$\frac{5}{2.5} × 5 = 10$件，即总销量为$20+10=30$件。
每件盈利为$40-5=35$元。
所以，商场每天的盈利为$30 × 35 = 1050$元。
(2)解：
设每件童装降价$x$元，则多售出的件数为$\frac{x}{2.5} × 5 = 2x$件，即总销量为$20+2x$件。
每件盈利为$40-x$元。
所以，$y = (20 + 2x)(40 - x) = -2x^2 + 60x + 800$。
答：$y$与$x$之间的函数表达式为$y = -2x^2 + 60x + 800$。
(3)解：
根据题意，我们有方程$-2x^2 + 60x + 800 = 1200$。
整理得$x^2 - 30x + 200 = 0$。
解此方程得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
考虑到题目中的“扩大销量，增加盈利，减少库存”，我们应选择更大的$x$值，即$x=20$。
答：每件童装应降价$20$元。
降价$5$元时，多售出的件数为$\frac{5}{2.5} × 5 = 10$件，即总销量为$20+10=30$件。
每件盈利为$40-5=35$元。
所以，商场每天的盈利为$30 × 35 = 1050$元。
(2)解：
设每件童装降价$x$元，则多售出的件数为$\frac{x}{2.5} × 5 = 2x$件，即总销量为$20+2x$件。
每件盈利为$40-x$元。
所以，$y = (20 + 2x)(40 - x) = -2x^2 + 60x + 800$。
答：$y$与$x$之间的函数表达式为$y = -2x^2 + 60x + 800$。
(3)解：
根据题意，我们有方程$-2x^2 + 60x + 800 = 1200$。
整理得$x^2 - 30x + 200 = 0$。
解此方程得$x_1 = 10$，$x_2 = 20$。
考虑到题目中的“扩大销量，增加盈利，减少库存”，我们应选择更大的$x$值，即$x=20$。
答：每件童装应降价$20$元。
10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 6 cm,BC= 12 cm。点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动,同时,点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动。如果 P,Q 两点分别到达 B,C 两点时停止移动,设运动开始后第 t s 时,五边形 APQCD 的面积为$ S cm^2。$
(1)写出 S 关于 t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范围；
(2)当 t 为何值时,五边形 APQCD 的面积最小？
(1)写出 S 关于 t 的函数表达式,并指出自变量 t 的取值范围；
(2)当 t 为何值时,五边形 APQCD 的面积最小？
答案
(1)根据题意，运动开始后第$t$秒，$AP = t cm$，$BQ = 2t cm$，$BP=(6-t) cm$，$CQ=(12-2t) cm$，
矩形ABCD的面积 $S_{矩形ABCD} = AB × BC = 6 × 12 = 72(cm^2)$，
$\triangle PBQ$的面积 $S_{\bigtriangleup PBQ} = \frac{1}{2} × BP× BQ =\frac{1}{2} × 2t× (6-t) =-t^2+6t(cm^2)$，
五边形$APQCD$的面积 $S = S_{矩形ABCD} - S_{\bigtriangleup PBQ} = 72 - (-t^2+6t) = t^2 - 6t + 72$，
因为点P从点A到点B需要6秒，点Q从点B到点C需要6秒，所以自变量t的取值范围是 $0 \leq t \leq 6$，
综上，S关于t的函数表达式为$S =t^2 - 6t + 72$，自变量t的取值范围是 $0 \leq t \leq 6$。
(2)$S = t^2 - 6t + 72 = (t - 3)^2 + 63$，
因为$a=1＞0$，
所以当 $t = 3$ 时，S取得最小值，即 $S_{min} = 63$，
综上，当 $t = 3$ 时，五边形$APQCD$的面积最小。
矩形ABCD的面积 $S_{矩形ABCD} = AB × BC = 6 × 12 = 72(cm^2)$，
$\triangle PBQ$的面积 $S_{\bigtriangleup PBQ} = \frac{1}{2} × BP× BQ =\frac{1}{2} × 2t× (6-t) =-t^2+6t(cm^2)$，
五边形$APQCD$的面积 $S = S_{矩形ABCD} - S_{\bigtriangleup PBQ} = 72 - (-t^2+6t) = t^2 - 6t + 72$，
因为点P从点A到点B需要6秒，点Q从点B到点C需要6秒，所以自变量t的取值范围是 $0 \leq t \leq 6$，
综上，S关于t的函数表达式为$S =t^2 - 6t + 72$，自变量t的取值范围是 $0 \leq t \leq 6$。
(2)$S = t^2 - 6t + 72 = (t - 3)^2 + 63$，
因为$a=1＞0$，
所以当 $t = 3$ 时，S取得最小值，即 $S_{min} = 63$，
综上，当 $t = 3$ 时，五边形$APQCD$的面积最小。
