6. 分解因式：$3ax^{2}-6axy + 3ay^{2}= $。

$3a(x - y)^{2}$

原式 $3ax^{2} - 6axy + 3ay^{2}$
= $3a(x^{2} - 2xy + y^{2})$ （提取公因式 $3a$）
= $3a(x - y)^{2}$ （应用完全平方公式）

7. 已知 $x - y = 1$,则代数式 $2x^{2}-4xy + 2y^{2}$ 的值为。

2

首先，对代数式 $2x^{2}-4xy + 2y^{2}$ 进行因式分解。
$2x^{2}-4xy + 2y^{2} = 2(x^{2}-2xy + y^{2}) = 2(x - y)^{2}$
由题目条件知 $x - y = 1$，代入上式得：
$2(x - y)^{2} = 2 × 1^{2} = 2$

8. 已知 $xy = 2$,$x - 2y= \sqrt{3}$,则 $x^{3}y - 4x^{2}y^{2}+4xy^{3}= $。

$6$

首先，对$x^{3}y - 4x^{2}y^{2} + 4xy^{3}$进行因式分解。
提取公因式$xy$，得到：
$x^{3}y - 4x^{2}y^{2} + 4xy^{3} = xy(x^{2} - 4xy + 4y^{2})$
观察括号内的部分$x^{2} - 4xy + 4y^{2}$，这是一个完全平方公式，即$(x - 2y)^{2}$。
因此，原式可以进一步化简为：
$xy(x - 2y)^{2}$
根据题目条件，已知$xy = 2$和$x - 2y = \sqrt{3}$，代入上式得到：
$xy(x - 2y)^{2} = 2 × (\sqrt{3})^{2} = 2 × 3 = 6$

9. 新定义：对于任意实数 $x$,都有 $f(x)= ax^{2}+bx$,若 $f(1)= 5$,$f(2)= 12$,则将 $f(x^{2}-4x)$ 因式分解的结果为。

$x(x-4)(x-2)^{2}$

根据题意，函数$f(x) = ax^2 + bx$，且$f(1) = 5$，$f(2) = 12$。
首先，我们根据$f(1) = 5$和$f(2) = 12$建立方程组：
$\begin{cases}a + b = 5, \\4a + 2b = 12.\end{cases}$
解这个方程组，得到：
从第一个方程，我们有 $b = 5 - a$。
将这个结果代入第二个方程，得到：
$4a + 2(5 - a) = 12$，
$4a + 10 - 2a = 12$，
$2a = 2$，
$a = 1$。
将$a = 1$代入第一个方程，得到：
$b = 5 - 1 = 4$，
所以，$a = 1$，$b = 4$。
因此，函数$f(x)$可以表示为：
$f(x) = x^2 + 4x$，
接下来，我们要求$f(x^2 - 4x)$：
$f(x^2 - 4x) = (x^2 - 4x)^2 + 4(x^2 - 4x)$
$= (x^2 - 4x)(x^2 - 4x + 4)$
$= x(x - 4) \cdot (x^2 - 4x + 4)$
$= x(x - 4)(x - 2)^2$

10. 已知 $a$,$b$,$c$ 为三角形的三边长,且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ac = 0$,则该三角形的形状是。

将等式两边同时乘以2，得：
$2a^{2} + 2b^{2} + 2c^{2} - 2ab - 2bc - 2ac = 0$
分组并配方：
$(a^{2} - 2ab + b^{2}) + (b^{2} - 2bc + c^{2}) + (a^{2} - 2ac + c^{2}) = 0$
即：
$(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (a - c)^{2} = 0$
因为平方数非负，所以：
$a - b = 0, b - c = 0, a - c = 0$
解得：
$a = b = c$
故该三角形是等边三角形。
等边三角形

11. 根据等式和不等式的性质,我们可以得到比较两数大小的方法：
(1) ①如果 $a - b ＜ 0$,那么 $a$$b$；
②如果 $a - b = 0$,那么 $a$$b$；
③如果 $a - b ＞ 0$,那么 $a$$b$。
(2) 如(1)中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”,请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若 $2a + 2b - 1＞3a + b$,比较 $a$,$b$ 的大小；
②比较 $3a^{2}-2b + 2b^{2}$ 与 $3a^{2}+b^{2}-1$ 的大小。

(1)
① $＜$
② $=$
③ $＞$
(2)
① $2a + 2b - 1＞3a + b$，
移项可得：$2a + 2b - 1-(3a + b)＞0$，
即$b - a - 1＞0$，
所以$b - a＞1＞0$，
则$b ＞ a$。
② $(3a^{2}-2b + 2b^{2})-(3a^{2}+b^{2}-1)$
$=3a^{2}-2b + 2b^{2}-3a^{2}-b^{2}+1$
$=b^{2}-2b + 1$
$=(b - 1)^{2}\geqslant0$
当$b = 1$时，$3a^{2}-2b + 2b^{2}=3a^{2}+b^{2}-1$；
当$b\neq1$时，$3a^{2}-2b + 2b^{2}＞3a^{2}+b^{2}-1$。