6. 如图,在$\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AD$ 平分$\angle BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$,$DE \perp AB$,垂足为 $E$,若 $BC = 10$,$DE = 4$,则 $BD$ 的长为。

6

本题可根据角平分线的性质得出$CD$与$DE$的关系，再结合已知条件求出$BD$的长。
步骤一：根据角平分线的性质得到$CD$的长度
已知$AD$平分$\angle BAC$，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得$CD = DE$。
因为$DE = 4$，所以$CD = 4$。
步骤二：计算$BD$的长度
已知$BC = 10$，且$BC=BD + CD$，那么$BD = BC - CD$。
将$BC = 10$，$CD = 4$代入$BD = BC - CD$，可得$BD = 10 - 4 = 6$。

7. 如图,$OM$ 平分$\angle POQ$,$MA \perp OP$,$MB \perp OQ$,$A$,$B$ 为垂足,$AB$ 交 $OM$ 于点 $N$。求证 $OA = OB$。

因为$OM$平分$\angle POQ$，$MA \perp OP$，$MB \perp OQ$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以$MA = MB$。
在$Rt\triangle OAM$和$Rt\triangle OBM$中，
$\begin{cases}OM = OM,\\MA = MB.\end{cases}$
根据$HL$（斜边-直角边）全等条件，$Rt\triangle OAM\cong Rt\triangle OBM$。
全等三角形的对应边相等，所以$OA = OB$。

8. 如图,$D$ 为$\triangle BAC$ 的外角平分线上一点,且满足 $BD = CD$,过点 $D$ 作 $DE \perp AC$,垂足为 $E$,$DF \perp AB$ 交 $BA$ 的延长线于点 $F$,则下列结论：①$\triangle CDE \cong \triangle BDF$；②$CE = AB + AE$；③$\angle BDC = \angle BAC$；④$\angle DAF = \angle ACD$,其中正确的结论有()

A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个

D

∵D在∠BAC外角平分线上，DE⊥AC，DF⊥AB延长线，∴DF=DE（角平分线性质），∠DFB=∠DEC=90°。
①在Rt△BDF和Rt△CDE中，BD=CD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），①正确。
②由①得BF=CE，∵AD平分∠CAF，DF=DE，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），∴AF=AE，∴BF=AB+AF=AB+AE，即CE=AB+AE，②正确。
③∵∠DFB=∠DEC=90°，∴∠FDE+∠FAE=180°，又∠FAE+∠BAC=180°，∴∠FDE=∠BAC，由①得∠BDF=∠CDE，∴∠BDC=∠FDE=∠BAC，③正确。
④∠DAF=1/2∠CAF=1/2(180°-∠BAC)=90°-1/2∠BAC，在△BDC中，BD=CD，∠BDC=∠BAC，∴∠ACD=(180°-∠BAC)/2=90°-1/2∠BAC，∴∠DAF=∠ACD，④正确。

9. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\triangle ABC$ 的三条内角平分线交于点 $O$,$OM \perp AB$,垂足为 $M$,若 $OM = 4$,$S_{\triangle ABC} = 200$,则$\triangle ABC$ 的周长为。

100

∵点O是△ABC三条内角平分线的交点，∴O到三边距离相等，即内切圆半径r=OM=4。
∵直角三角形面积S=$\frac{1}{2}$×r×周长，
∴200=$\frac{1}{2}$×4×周长，
解得周长=100。

10. $\triangle ABC$ 中,$\angle C ＞ \angle B$,$AE$ 平分$\angle BAC$,$M$ 是 $AE$ 上一点,$MN \perp BC$,垂足为 $N$。
(1) 当点 $M$ 与点 $A$ 重合时,如图 $1$。
① 若$\angle B = 40^{\circ}$,$\angle C = 80^{\circ}$,求$\angle EMN$ 的度数；
② $\angle EMN$ 与$\angle B$,$\angle C$ 之间有何关系？请证明你的结论；
(2) 如图 $2$,$D$ 是 $BC$ 延长线上一点,若$\angle CAD = \angle D$,$MC \perp AD$,垂足为 $F$,探究$\angle CMN$ 与$\angle ACB$ 的关系。

(1)①
在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-80°=60°．
∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC/2=30°．
∵AN⊥BC，∴∠ANC=90°，在Rt△ANC中，∠CAN=90°-∠C=10°．
∴∠EAN=∠CAE-∠CAN=30°-10°=20°，即∠EMN=20°．
②∠EMN=(∠C-∠B)/2．
证明：在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C，AE平分∠BAC，∴∠CAE=(180°-∠B-∠C)/2=90°-(∠B+∠C)/2．
∵AN⊥BC，∠ANC=90°，∴∠CAN=90°-∠C．
∴∠EAN=∠CAE-∠CAN=[90°-(∠B+∠C)/2]-(90°-∠C)=(∠C-∠B)/2，即∠EMN=(∠C-∠B)/2．
(2)∠CMN=∠ACB/2．
证明：∵∠CAD=∠D，∴AC=CD，△ACD为等腰三角形．
∵MC⊥AD，∴MC平分∠ACD（等腰三角形三线合一），∠ACM=∠DCM=∠ACD/2．
∵∠ACB+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°-∠ACB，∠ACM=(180°-∠ACB)/2=90°-∠ACB/2．
∵MN⊥BC，∠MNC=90°，在Rt△MNC中，∠MCN=∠ACB-∠ACM=∠ACB-(90°-∠ACB/2)=3∠ACB/2-90°．
∴∠CMN=90°-∠MCN=90°-(3∠ACB/2-90°)=∠ACB/2．
答案
(1)①20°；②∠EMN=(∠C-∠B)/2；(2)∠CMN=∠ACB/2．

(1)①在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=180^{\circ}-40^{\circ}-80^{\circ}=60^{\circ}$，
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\angle CAE=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}$，
在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=180^{\circ}-\angle B-\angle BAE=180^{\circ}-40^{\circ}-30^{\circ}=110^{\circ}$，
因为$MN\perp BC$，所以$\angle MNE=90^{\circ}$，
又因为$\angle AEB=\angle EMN+\angle MNE$，所以$\angle EMN=\angle AEB-\angle MNE=110^{\circ}-90^{\circ}=20^{\circ}$。
②$\angle EMN=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。
证明：在$\triangle ABC$中，$\angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C$，
因为$AE$平分$\angle BAC$，所以$\angle BAE=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B-\angle C)=90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)$，
在$\triangle ABE$中，$\angle AEB=180^{\circ}-\angle B-\angle BAE=180^{\circ}-\angle B-[90^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle B+\angle C)]=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C$，
因为$MN\perp BC$，所以$\angle MNE=90^{\circ}$，
又因为$\angle AEB=\angle EMN+\angle MNE$，所以$\angle EMN=\angle AEB-90^{\circ}=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle B+\frac{1}{2}\angle C-90^{\circ}=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$。
(2)$\angle CMN=\frac{1}{2}\angle ACB$。