12. 已知∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOB = a,射线 OM 平分∠COD,ON 平分∠AOD。
(1)如图①,若 OC 与 OB 重合,a = 20°,请补全图形并求出 ∠MON 的度数；
(2)如图②,若∠MON = 55°,求∠AOC 的度数。

1. （1）
已知$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOB = a$，$a = 20^{\circ}$，则$\angle AOB=40^{\circ}$。
因为$OM$平分$\angle COD$，所以$\angle COM=\frac{1}{2}\angle COD$。
又因为$\angle COD = 20^{\circ}$，所以$\angle COM=\frac{1}{2}×20^{\circ}=10^{\circ}$。
因为$ON$平分$\angle AOD$，$\angle AOD=\angle AOB+\angle BOD$，此时$OC$与$OB$重合，$\angle AOD=\angle AOB+\angle COD=40^{\circ}+20^{\circ}=60^{\circ}$。
则$\angle AON=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
所以$\angle MON=\angle AON-\angle AOM$，$\angle AOM=\angle AOB-\angle BOM$，因为$\angle BOM=\angle COM = 10^{\circ}$，$\angle AOB = 40^{\circ}$，所以$\angle AOM=40^{\circ}-10^{\circ}=30^{\circ}$，$\angle MON=\angle AON-\angle AOM=30^{\circ}-20^{\circ}=10^{\circ}$。
2. （2）
设$\angle AOC=x$。
因为$\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOB=a$，所以$\angle AOB = 2a$。
则$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=x + a$，$\angle BOD=\angle AOD-\angle AOB=(x + a)-2a=x - a$。
因为$OM$平分$\angle COD$，所以$\angle DOM=\frac{1}{2}\angle COD=\frac{a}{2}$。
因为$ON$平分$\angle AOD$，所以$\angle DON=\frac{1}{2}\angle AOD=\frac{x + a}{2}$。
又因为$\angle MON=\angle DON-\angle DOM$，且$\angle MON = 55^{\circ}$。
所以$\frac{x + a}{2}-\frac{a}{2}=55^{\circ}$。
根据$\frac{x + a}{2}-\frac{a}{2}=\frac{x + a - a}{2}=\frac{x}{2}$，即$\frac{x}{2}=55^{\circ}$，解得$x = 110^{\circ}$。
综上，（1）$\angle MON$的度数为$10^{\circ}$；（2）$\angle AOC$的度数为$110^{\circ}$。

(1)
∵∠COD = a = 20°，∠COD = 1/2∠AOB，
∴∠AOB = 2a = 40°。
∵OC与OB重合，
∴∠BOD = ∠COD = 20°，∠AOD = ∠AOB + ∠BOD = 40° + 20° = 60°。
∵OM平分∠COD，
∴∠MOD = 1/2∠COD = 10°。
∵ON平分∠AOD，
∴∠NOD = 1/2∠AOD = 30°。
∴∠MON = ∠NOD - ∠MOD = 30° - 10° = 20°。
(2)
设∠AOC = x，∠COD = a，则∠AOB = 2a，∠AOD = ∠AOC + ∠COD = x + a。
∵ON平分∠AOD，
∴∠NOD = 1/2∠AOD = (x + a)/2。
∵OM平分∠COD，
∴∠MOD = 1/2∠COD = a/2。
∵∠MON = ∠NOD - ∠MOD = 55°，
∴(x + a)/2 - a/2 = 55°，即x/2 = 55°。
∴x = 110°，即∠AOC = 110°。

13. 以直线 AB 上一点 O 为端点作射线 OC,使∠BOC = 60°,将一个直角三角形 DOE 的直角顶点放在点 O 处。
(1)如图①,将直角三角形 DOE 的一边 OD 放在射线 OB 上,则∠COE = ；
(2)如图②,将直角三角形 DOE 绕点 O 按逆时针方向转动到某个位置,若 OE 恰好平分∠AOC,请判断 OD 是否平分∠BOC,并说明理由；

(3)将三角形 DOE 绕点 O 按逆时针方向转动到某个位置时,若恰好∠AOE = 5∠COD,求∠BOD 的度数。
设∠COD=x，则∠AOE=5x。分两种情况：
① 当OD在∠BOC内部时，∠BOD=60°-x，∠AOC=120°，∠EOC=120°-5x。∵∠DOE=90°，∴∠EOC+∠COD=90°，即120°-5x+x=90°，解得x=7.5°，∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°；
② 当OD在∠BOC外部时，∠BOD=60°+x，∠AOD=180°-(60°+x)=120°-x。∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=120°-x+90°=210°-x，即5x=210°-x，解得x=35°，∴∠BOD=60°+35°=95°。
综上，∠BOD的度数为52.5°或95°。

(1) 30°
(2) OD平分∠BOC。理由：∵∠AOB=180°，∠BOC=60°，∴∠AOC=180°-60°=120°。∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=120°÷2=60°。∵∠DOE=90°，∴∠COD=∠DOE-∠EOC=90°-60°=30°。∵∠BOC=60°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=60°-30°=30°。∴∠COD=∠BOD，即OD平分∠BOC。
(3) 设∠COD=x，则∠AOE=5x。分两种情况：
① 当OD在∠BOC内部时，∠BOD=60°-x，∠AOC=120°，∠EOC=120°-5x。∵∠DOE=90°，∴∠EOC+∠COD=90°，即120°-5x+x=90°，解得x=7.5°，∴∠BOD=60°-7.5°=52.5°；
② 当OD在∠BOC外部时，∠BOD=60°+x，∠AOD=180°-(60°+x)=120°-x。∵∠DOE=90°，∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=120°-x+90°=210°-x，即5x=210°-x，解得x=35°，∴∠BOD=60°+35°=95°。
综上，∠BOD的度数为52.5°或95°。

(1) $30^\circ$
(2) OD平分∠BOC。
∵∠AOB=180°，∠BOC=60°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°。
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°。
∵∠DOE=90°，
∴∠COD=∠DOE-∠COE=30°。
∵∠BOC=60°，
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=30°。
∴∠COD=∠BOD，即OD平分∠BOC。
(3) 设∠COD=x，则∠AOE=5x。
① 当OE在∠AOC内部时，∠COE=∠AOC-∠AOE=120°-5x。
∵∠DOE=90°，∠COD=x，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-x。
∴120°-5x=90°-x，解得x=7.5°。
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=60°-7.5°=52.5°。
② 当OE在∠AOC外部时，∠COE=∠AOE-∠AOC=5x-120°。
∵∠DOE=90°，∠COD=x，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=90°-x。
∴5x-120°=90°-x，解得x=35°。
∴∠BOD=∠BOC-∠COD=60°-35°=25°。
综上，∠BOD的度数为52.5°或25°。