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1. 计算：$(\frac {m^{2}}{m - 1}+\frac {1}{1 - m})\cdot\frac {1}{m + 1}= $
1
。答案
1
解析
$\begin{aligned}&(\frac{m^2}{m - 1} + \frac{1}{1 - m}) \cdot \frac{1}{m + 1}\\=&(\frac{m^2}{m - 1} - \frac{1}{m - 1}) \cdot \frac{1}{m + 1}\\=&\frac{m^2 - 1}{m - 1} \cdot \frac{1}{m + 1}\\=&\frac{(m + 1)(m - 1)}{m - 1} \cdot \frac{1}{m + 1}\\=&(m + 1) \cdot \frac{1}{m + 1}\\=&1\end{aligned}$
2. 若$a$,$b$互为倒数,则代数式$\frac {a^{2}+2ab + b^{2}}{a + b}÷(\frac {1}{a}+\frac {1}{b})$的值为
1
。答案
1
解析
因为a，b互为倒数，所以$ab = 1$。
化简被除式：$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b$（$a + b ≠ 0$）。
化简除式：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$。
原式$= (a + b) ÷ \frac{a + b}{ab} = (a + b) \cdot \frac{ab}{a + b} = ab$。
因为$ab = 1$，所以原式$= 1$。
化简被除式：$\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a + b)^2}{a + b} = a + b$（$a + b ≠ 0$）。
化简除式：$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{a + b}{ab}$。
原式$= (a + b) ÷ \frac{a + b}{ab} = (a + b) \cdot \frac{ab}{a + b} = ab$。
因为$ab = 1$，所以原式$= 1$。
3. 当$x = 6$,$y = 3$时,$(\frac {x}{x + y}+\frac {2y}{x + y})\cdot\frac {3xy}{x + 2y}$的值是(
A.2
B.3
C.6
D.9
C
)A.2
B.3
C.6
D.9
答案
C
解析
首先将分式进行化简：
$(\frac{x}{x + y} + \frac{2y}{x + y}) \cdot \frac{3xy}{x + 2y} = \frac{x + 2y}{x + y} \cdot \frac{3xy}{x + 2y} = \frac{3xy}{x + y}$
将 $x = 6$，$y = 3$ 代入：
$\frac{3 × 6 × 3}{6 + 3} = \frac{54}{9} = 6$
4. 化简$(1-\frac {2x - 1}{x^{2}})÷(1-\frac {1}{x^{2}})$的结果为(
A.$\frac {x - 1}{x + 1}$
B.$\frac {x + 1}{x - 1}$
C.$\frac {x + 1}{x}$
D.$\frac {x - 1}{x}$
A
)A.$\frac {x - 1}{x + 1}$
B.$\frac {x + 1}{x - 1}$
C.$\frac {x + 1}{x}$
D.$\frac {x - 1}{x}$
答案
A
解析
原式：$(1-\frac{2x - 1}{x^{2}}) ÷ (1-\frac{1}{x^{2}})$，
先对分子进行通分：
$1 - \frac{2x - 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2}} = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}}$
再对分母进行通分：
$1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}}$
将分子和分母代入原式，并进行化简：
$\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}} ÷ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}} = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$
先对分子进行通分：
$1 - \frac{2x - 1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 2x + 1}{x^{2}} = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}}$
再对分母进行通分：
$1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2} - 1}{x^{2}} = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}}$
将分子和分母代入原式，并进行化简：
$\frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}} ÷ \frac{(x + 1)(x - 1)}{x^{2}} = \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x - 1}{x + 1}$
5. 如果$a^{2}+2a - 1 = 0$,那么代数式$(a-\frac {4}{a})\cdot\frac {a^{2}}{a - 2}$的值是(
A.$- 3$
B.$- 1$
C.1
D.3
C
)A.$- 3$
B.$- 1$
C.1
D.3
答案
C
解析
$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a}) \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\left(\frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}\right) \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a} \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&(a + 2) \cdot a\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$，原式的值为$1$。
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$，原式的值为$1$。
6. 如图,老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果,随后用手遮住了原代数式的一部分,则被遮住的部分是(
A.$\frac {x - 1}{2x + 1}$
B.$\frac {2x - 1}{x - 1}$
C.$\frac {x - 1}{2x - 1}$
D.$\frac {2x + 1}{x - 1}$
D
)A.$\frac {x - 1}{2x + 1}$
B.$\frac {2x - 1}{x - 1}$
C.$\frac {x - 1}{2x - 1}$
D.$\frac {2x + 1}{x - 1}$
答案
D
解析
设被遮住部分为$A$，由题意得$(A - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) ÷ \frac{x}{x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
将除法转化为乘法：$(A - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
两边同乘$\frac{x}{x + 1}$：$A - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x}{x + 1} = \frac{x}{x - 1}$。
化简$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
则$A = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + x + 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}$。
将除法转化为乘法：$(A - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1}) \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
两边同乘$\frac{x}{x + 1}$：$A - \frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x}{x + 1} = \frac{x}{x - 1}$。
化简$\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1}$。
则$A = \frac{x}{x - 1} + \frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x + x + 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{x - 1}$。
7. 若$(\frac {4}{a^{2}-4}+\frac {1}{2 - a})\cdot w = 1$,则$w = $(
A.$a + 2(a\neq - 2)$
B.$- a + 2(a\neq 2)$
C.$a - 2(a\neq 2)$
D.$- a - 2(a\neq\pm 2)$
D
)A.$a + 2(a\neq - 2)$
B.$- a + 2(a\neq 2)$
C.$a - 2(a\neq 2)$
D.$- a - 2(a\neq\pm 2)$
答案
D
解析
首先将分式表达式$\frac{4}{a^{2}-4} + \frac{1}{2-a}$化简：
$\frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{1}{a-2} = \frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a+2}{(a-2)(a+2)} = \frac{4 - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2 - a}{(a - 2)(a + 2)}$，
原方程变为：
$\left( \frac{2 - a}{(a - 2)(a + 2)} \right) \cdot w = 1$，
解得：
$w = \frac{(a - 2)(a + 2)}{2 - a} = - (a + 2) = -a - 2$，
同时，分母要求$a \neq \pm 2$。
$\frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{1}{a-2} = \frac{4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a+2}{(a-2)(a+2)} = \frac{4 - (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{2 - a}{(a - 2)(a + 2)}$，
原方程变为：
$\left( \frac{2 - a}{(a - 2)(a + 2)} \right) \cdot w = 1$，
解得：
$w = \frac{(a - 2)(a + 2)}{2 - a} = - (a + 2) = -a - 2$，
同时，分母要求$a \neq \pm 2$。
8. 已知$\triangle ABC的三边长分别为a$,$b$,$c$,且$\frac {a}{b}+\frac {a}{c}= \frac {b + c}{b + c - a}$,则$\triangle ABC$一定是(
A.等边三角形
B.腰长为$a$的等腰三角形
C.底边长为$a$的等腰三角形
D.等腰直角三角形
B
)A.等边三角形
B.腰长为$a$的等腰三角形
C.底边长为$a$的等腰三角形
D.等腰直角三角形
答案
B
解析
左边通分得：$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}=\frac{ac+ab}{bc}=\frac{a(b+c)}{bc}$，则等式为$\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{b+c}{b+c-a}$。
∵$b+c＞0$，两边同除$(b+c)$得：$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$。
去分母得：$a(b+c-a)=bc$，展开得$ab+ac-a^2=bc$。
移项并因式分解：$ab+ac-a^2-bc=0$，分组得$(ab-bc)+(ac-a^2)=0$，即$b(a-c)-a(a-c)=0$，提取公因式得$(a-c)(b-a)=0$。
∴$a=c$或$a=b$，即$\triangle ABC$是腰长为$a$的等腰三角形。
∵$b+c＞0$，两边同除$(b+c)$得：$\frac{a}{bc}=\frac{1}{b+c-a}$。
去分母得：$a(b+c-a)=bc$，展开得$ab+ac-a^2=bc$。
移项并因式分解：$ab+ac-a^2-bc=0$，分组得$(ab-bc)+(ac-a^2)=0$，即$b(a-c)-a(a-c)=0$，提取公因式得$(a-c)(b-a)=0$。
∴$a=c$或$a=b$，即$\triangle ABC$是腰长为$a$的等腰三角形。
9. 计算：
(1)$1-\frac {a - 1}{a}÷(\frac {a}{a + 2}-\frac {1}{a^{2}+2a})$；
(2)$(\frac {x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}+\frac {2 - x}{x + 2})÷\frac {x}{x - 2}$。
(3)$(\frac {b}{ab - b^{2}}+\frac {a + b}{ab - a^{2}})÷(-\frac {b}{a})^{2}$；
(4)$(\frac {x^{2}-1}{x - 3}-x - 1)÷\frac {x + 1}{x^{2}-6x + 9}$。
(1)$1-\frac {a - 1}{a}÷(\frac {a}{a + 2}-\frac {1}{a^{2}+2a})$；
(2)$(\frac {x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}+\frac {2 - x}{x + 2})÷\frac {x}{x - 2}$。
(3)$(\frac {b}{ab - b^{2}}+\frac {a + b}{ab - a^{2}})÷(-\frac {b}{a})^{2}$；
(4)$(\frac {x^{2}-1}{x - 3}-x - 1)÷\frac {x + 1}{x^{2}-6x + 9}$。
答案
(1) $-\frac{1}{a + 1}$；(2) $\frac{8}{x + 2}$；(3) $-\frac{a}{b(a - b)}$；(4) $2x - 6$
解析
(1)
$\begin{aligned}&1-\frac{a - 1}{a}÷\left(\frac{a}{a + 2}-\frac{1}{a^{2}+2a}\right)\\=&1-\frac{a - 1}{a}÷\left(\frac{a^{2}}{a(a + 2)}-\frac{1}{a(a + 2)}\right)\\=&1-\frac{a - 1}{a}÷\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a + 2)}\\=&1-\frac{a - 1}{a}\cdot\frac{a(a + 2)}{(a - 1)(a + 1)}\\=&1-\frac{a + 2}{a + 1}\\=&\frac{(a + 1)-(a + 2)}{a + 1}\\=&-\frac{1}{a + 1}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}+\frac{2 - x}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\left(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2}-\frac{x - 2}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\left(\frac{x + 2}{x - 2}-\frac{x - 2}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\frac{(x + 2)^2-(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{x - 2}{x}\\=&\frac{8x}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{x - 2}{x}\\=&\frac{8}{x + 2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\left(\frac{b}{ab - b^{2}}+\frac{a + b}{ab - a^{2}}\right)÷\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}\\=&\left(\frac{b}{b(a - b)}+\frac{a + b}{-a(a - b)}\right)÷\frac{b^{2}}{a^{2}}\\=&\left(\frac{1}{a - b}-\frac{a + b}{a(a - b)}\right)\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&\frac{a-(a + b)}{a(a - b)}\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&\frac{-b}{a(a - b)}\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&-\frac{a}{b(a - b)}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\left(\frac{x^{2}-1}{x - 3}-x - 1\right)÷\frac{x + 1}{x^{2}-6x + 9}\\=&\left(\frac{x^{2}-1}{x - 3}-\frac{(x + 1)(x - 3)}{x - 3}\right)÷\frac{x + 1}{(x - 3)^2}\\=&\frac{x^{2}-1-(x^{2}-2x - 3)}{x - 3}\cdot\frac{(x - 3)^2}{x + 1}\\=&\frac{2x + 2}{x - 3}\cdot\frac{(x - 3)^2}{x + 1}\\=&2(x - 3)\\=&2x - 6\end{aligned}$
$\begin{aligned}&1-\frac{a - 1}{a}÷\left(\frac{a}{a + 2}-\frac{1}{a^{2}+2a}\right)\\=&1-\frac{a - 1}{a}÷\left(\frac{a^{2}}{a(a + 2)}-\frac{1}{a(a + 2)}\right)\\=&1-\frac{a - 1}{a}÷\frac{(a - 1)(a + 1)}{a(a + 2)}\\=&1-\frac{a - 1}{a}\cdot\frac{a(a + 2)}{(a - 1)(a + 1)}\\=&1-\frac{a + 2}{a + 1}\\=&\frac{(a + 1)-(a + 2)}{a + 1}\\=&-\frac{1}{a + 1}\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\left(\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x + 4}+\frac{2 - x}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\left(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)^2}-\frac{x - 2}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\left(\frac{x + 2}{x - 2}-\frac{x - 2}{x + 2}\right)÷\frac{x}{x - 2}\\=&\frac{(x + 2)^2-(x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{x - 2}{x}\\=&\frac{8x}{(x - 2)(x + 2)}\cdot\frac{x - 2}{x}\\=&\frac{8}{x + 2}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}&\left(\frac{b}{ab - b^{2}}+\frac{a + b}{ab - a^{2}}\right)÷\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}\\=&\left(\frac{b}{b(a - b)}+\frac{a + b}{-a(a - b)}\right)÷\frac{b^{2}}{a^{2}}\\=&\left(\frac{1}{a - b}-\frac{a + b}{a(a - b)}\right)\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&\frac{a-(a + b)}{a(a - b)}\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&\frac{-b}{a(a - b)}\cdot\frac{a^{2}}{b^{2}}\\=&-\frac{a}{b(a - b)}\end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned}&\left(\frac{x^{2}-1}{x - 3}-x - 1\right)÷\frac{x + 1}{x^{2}-6x + 9}\\=&\left(\frac{x^{2}-1}{x - 3}-\frac{(x + 1)(x - 3)}{x - 3}\right)÷\frac{x + 1}{(x - 3)^2}\\=&\frac{x^{2}-1-(x^{2}-2x - 3)}{x - 3}\cdot\frac{(x - 3)^2}{x + 1}\\=&\frac{2x + 2}{x - 3}\cdot\frac{(x - 3)^2}{x + 1}\\=&2(x - 3)\\=&2x - 6\end{aligned}$
