5. (2025·南充)先化简,再求值：$(\frac{2a}{a + 2}-1)÷\frac{a^{2}-4a + 4}{a + 2}$,其中$a = 1$。

$-1$

原式$ =(\frac{2a}{a + 2}-\frac{a + 2}{a + 2})÷\frac{(a - 2)^{2}}{a + 2}$
$=\frac{2a-(a + 2)}{a + 2}×\frac{a + 2}{(a - 2)^{2}}$
$=\frac{2a - a - 2}{a + 2}×\frac{a + 2}{(a - 2)^{2}}$
$=\frac{a - 2}{a + 2}×\frac{a + 2}{(a - 2)^{2}}$
$=\frac{1}{a - 2}$
当$a = 1$时，代入$\frac{1}{a - 2}$可得：$\frac{1}{1 - 2}=-1$

6. 有$A$,$B$两箱水果,$A箱水果质量为(a - 1)^{2}kg$,$B箱水果质量为(a^{2}-1)kg$(其中$a ＞ 1$),售完后,两箱水果都卖了$120$元。
(1)哪箱水果的单价要高些？
(2)两箱水果中高的单价是低的单价的多少倍？

(1)A箱；(2)$\frac{a+1}{a-1}$

(1)A箱单价：$\frac{120}{(a-1)^2}$元/kg，B箱单价：$\frac{120}{a^2-1}=\frac{120}{(a-1)(a+1)}$元/kg。
∵$a＞1$，∴$a+1＞a-1＞0$，则$(a-1)(a+1)＞(a-1)^2＞0$，分子相同，分母大的分式值小，∴$\frac{120}{(a-1)^2}＞\frac{120}{(a-1)(a+1)}$，即A箱单价高。
(2)$\frac{120}{(a-1)^2}÷\frac{120}{(a-1)(a+1)}=\frac{(a-1)(a+1)}{(a-1)^2}=\frac{a+1}{a-1}$。

7. 如果$a^{2}+2a - 1 = 0$,那么代数式$(a-\frac{4}{a})\cdot\frac{a^{2}}{a - 2}$的值是()
A. $-3$
B. $-1$
C. $1$
D. $3$

C

$\begin{aligned}&(a - \frac{4}{a}) \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\left(\frac{a^2}{a} - \frac{4}{a}\right) \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{a^2 - 4}{a} \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{a} \cdot \frac{a^2}{a - 2}\\=&(a + 2) \cdot a\\=&a^2 + 2a\end{aligned}$
因为$a^2 + 2a - 1 = 0$，所以$a^2 + 2a = 1$。

8. 一辆货车送货上山,并按原路下山。上山速度为$a km/h$,下山速度为$b km/h$。则货车上、下山的平均速度为()
A. $\frac{1}{2}(a + b) km/h$
B. $\frac{ab}{a + b} km/h$
C. $\frac{a + b}{2ab} km/h$
D. $\frac{2ab}{a + b} km/h$

D

设上山路程为$s$千米，则上山时间为$\frac{s}{a}$小时，下山时间为$\frac{s}{b}$小时，总路程为$2s$千米，总时间为$\frac{s}{a} + \frac{s}{b}$小时。平均速度公式为总路程除以总时间，即：
$平均速度 = \frac{2s}{\frac{s}{a} + \frac{s}{b}} = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b} km/h$。

9. 若$x+\frac{1}{x}= 2$,则$\frac{x^{2}}{x^{4}+2x^{2}+1}$的值是()
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$

C

已知$x + \frac{1}{x} = 2$，将等式两边平方得$(x + \frac{1}{x})^2 = 4$，展开得$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 4$，故$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$。
待求式$\frac{x^2}{x^4 + 2x^2 + 1}$，分母$x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2)^2 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2$，原式可化为$\frac{x^2}{(x^2 + 1)^2}$。
分子分母同除以$x^2$得$\frac{1}{\frac{(x^2 + 1)^2}{x^2}} = \frac{1}{x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}}$，将$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$代入，得$\frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$。

10. 先化简,再求值：$\frac{x - 3}{x^{2}-1}÷\frac{x - 3}{x^{2}+2x + 1}-(\frac{1}{x - 1}+1)$,其中$x是不等式组\begin{cases}5x - 3 ＞ 3(x + 1) \\ \frac{1}{2}x - 1 ＜ 9-\frac{3}{2}x \end{cases} $的整数解。

$\frac{1}{3}$

化简原式：
$\begin{aligned}&\frac{x - 3}{x^{2}-1}÷\frac{x - 3}{x^{2}+2x + 1}-(\frac{1}{x - 1}+1)\\=&\frac{x - 3}{(x - 1)(x + 1)}×\frac{(x + 1)^2}{x - 3}-\left(\frac{1}{x - 1}+\frac{x - 1}{x - 1}\right)\\=&\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}\\=&\frac{1}{x - 1}\end{aligned}$
解不等式组：
$\begin{cases}5x - 3 ＞ 3(x + 1) \\frac{1}{2}x - 1 ＜ 9 - \frac{3}{2}x\end{cases}$
解①：$5x - 3 ＞ 3x + 3\Rightarrow 2x ＞ 6\Rightarrow x ＞ 3$
解②：$\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}x ＜ 10\Rightarrow 2x ＜ 10\Rightarrow x ＜ 5$
不等式组解集为$3 ＜ x ＜ 5$，整数解$x=4$
代入$\frac{1}{x - 1}$得$\frac{1}{4 - 1}=\frac{1}{3}$

11. 阅读下面的解题过程：
例：已知$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{2}$,求代数式$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值。
第一步因为$\frac{x}{x^{2}+1}= \frac{1}{2}$,
所以$\frac{x^{2}+1}{x}= 2即x+\frac{1}{x}= 2$；
第二步因为$(x+\frac{1}{x})^{2}= x^{2}+2\cdot x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}= x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2$,
所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (x+\frac{1}{x})^{2}-2 = 2^{2}-2 = 2$。
该题的解法叫作“倒数法”,请你利用“倒数法”解决下面的问题。
已知$\frac{x}{x^{2}-x - 1}= \frac{1}{2}$,求$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值。

11

由题意，$\frac{x}{x^{2}-x-1}=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{x^{2}-x-1}{x}=2$，
即：$x-1-\frac{1}{x}=2$，
所以$x-\frac{1}{x}=3$，
对等式两边平方，得到：
$(x-\frac{1}{x})^{2}=x^{2}-2+\frac{1}{x^{2}}=9$，
所以$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x-\frac{1}{x})^{2}+2=9+2=11$。