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5. 如图所示,一个人骑马从点A出发,他先使马到草地边$ l_1 $吃草,再到河边$ l_2 $饮水,最后返回点A,他怎样走才能使总路程最短？
答案
1. 作点A关于直线$ l_1 $的对称点$ A_1 $；
2. 作点A关于直线$ l_2 $的对称点$ A_2 $；
3. 连接$ A_1A_2 $，分别交$ l_1 $于点P，交$ l_2 $于点Q；
4. 连接AP、PQ、QA，则路径$ A→P→Q→A $即为最短路径。
2. 作点A关于直线$ l_2 $的对称点$ A_2 $；
3. 连接$ A_1A_2 $，分别交$ l_1 $于点P，交$ l_2 $于点Q；
4. 连接AP、PQ、QA，则路径$ A→P→Q→A $即为最短路径。
【例2】阅读课本上的“造桥选址问题”(如图所示)后,你能完成证明“AM+MN+NB最短”的过程吗？
答案
证明：
1. 设直线$a$、$b$间距离为$d$，则$MN = d$（定值），故需证$AM + NB$最短。
2. 将点$A$沿$MN$方向平移$d$至$A'$，则$AA' = MN$且$AA' // MN$，∴四边形$AA'MN$为平行四边形，∴$AM = A'N$。
3. ∴$AM + NB = A'N + NB$，∵$A'$、$B$为定点，$N$在直线$b$上，由两点之间线段最短，得$A'N + NB \geq A'B$（当$N$为$A'B$与$b$交点时取等号）。
4. 此时$AM + NB$最短，故$AM + MN + NB = A'B + d$最短。
1. 设直线$a$、$b$间距离为$d$，则$MN = d$（定值），故需证$AM + NB$最短。
2. 将点$A$沿$MN$方向平移$d$至$A'$，则$AA' = MN$且$AA' // MN$，∴四边形$AA'MN$为平行四边形，∴$AM = A'N$。
3. ∴$AM + NB = A'N + NB$，∵$A'$、$B$为定点，$N$在直线$b$上，由两点之间线段最短，得$A'N + NB \geq A'B$（当$N$为$A'B$与$b$交点时取等号）。
4. 此时$AM + NB$最短，故$AM + MN + NB = A'B + d$最短。
6. 如图所示,两个居民小区A和B在河岸l的同侧,现欲在河岸边建一个长度为s m的绿化带CD,使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小。请在图中画出绿化带的位置(保留作图痕迹,不写作法)。
答案
1. 过点B作BB'平行于河岸l，且BB'=s，B'在B左侧；
2. 连接A、B'，交河岸l于点C；
3. 过点C沿河岸l向右作线段CD，使CD=s。
则CD即为所求绿化带位置。
（作图痕迹：BB'的平行线、AB'的连线、CD的线段）
2. 连接A、B'，交河岸l于点C；
3. 过点C沿河岸l向右作线段CD，使CD=s。
则CD即为所求绿化带位置。
（作图痕迹：BB'的平行线、AB'的连线、CD的线段）
解析
（此处应根据作图要求画出绿化带CD的位置，保留作图痕迹。由于无法直接绘图，实际作答时需在答题卡的图中完成作图步骤，最终确定点C和点D的位置，使CD=s且AC+BD最小。）
7. 如图所示,A和B两地之间有两条平行的河流,现要在两条河上各造一座桥MN和EF,桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直,保留作图痕迹,不写作法)
答案
1. 过点A作垂直于河岸的线段，向下平移第一条河的宽度得到点A'（保留平移痕迹）。
2. 过点B作垂直于河岸的线段，向上平移第二条河的宽度得到点B'（保留平移痕迹）。
3. 连接A'B'，交第一条河的下岸于点N，交第二条河的上岸于点E（保留线段A'B'及交点N、E）。
4. 过点N作垂直于河岸的线段，交第一条河的上岸于点M，MN即为第一条桥。
5. 过点E作垂直于河岸的线段，交第二条河的下岸于点F，EF即为第二条桥。
（注：图中需保留平移方向的虚线、A'B'的实线、交点N、E及桥MN、EF的标记）
2. 过点B作垂直于河岸的线段，向上平移第二条河的宽度得到点B'（保留平移痕迹）。
3. 连接A'B'，交第一条河的下岸于点N，交第二条河的上岸于点E（保留线段A'B'及交点N、E）。
4. 过点N作垂直于河岸的线段，交第一条河的上岸于点M，MN即为第一条桥。
5. 过点E作垂直于河岸的线段，交第二条河的下岸于点F，EF即为第二条桥。
（注：图中需保留平移方向的虚线、A'B'的实线、交点N、E及桥MN、EF的标记）
1. 如图所示,在△ABC中,AB= AC,BC= 4,△ABC的面积是14,AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F。若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,求CM+DM的最小值。
答案
∵ $AB = AC$，$D$ 为 $BC$ 中点，$BC = 4$。
∴ $AD\bot BC$，$CD=BD = 2$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 14$，即$\frac{1}{2}×4× AD = 14$，解得$AD = 7$。
∵ $EF$ 是 $AC$ 的垂直平分线。
∴ 点 $C$，点 $A$ 关于直线 $EF$ 对称。
∴ $CM$ 的长等于 $AM$ 的长。
∴ $CM + DM=AM + DM$，当 $A$，$M$，$D$ 三点共线时，$AM + DM$ 的值最小，最小值为 $AD$ 的长。
所以 $CM + DM$ 的最小值为 $7$。
∴ $AD\bot BC$，$CD=BD = 2$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 14$，即$\frac{1}{2}×4× AD = 14$，解得$AD = 7$。
∵ $EF$ 是 $AC$ 的垂直平分线。
∴ 点 $C$，点 $A$ 关于直线 $EF$ 对称。
∴ $CM$ 的长等于 $AM$ 的长。
∴ $CM + DM=AM + DM$，当 $A$，$M$，$D$ 三点共线时，$AM + DM$ 的值最小，最小值为 $AD$ 的长。
所以 $CM + DM$ 的最小值为 $7$。
2. 如图所示,在等边三角形ABC中,D,E分别为边BC,AB的中点,AD= 5,P为AD上的动点,连接EP,BP,求BP+EP的最小值。
答案
5
解析
解：
∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，
∴AD垂直平分BC，即B、C关于AD对称，
∴PB=PC（垂直平分线上的点到两端点距离相等）。
则BP+EP=PC+EP，当P、E、C三点共线时，PC+EP=EC，此时BP+EP最小，最小值为EC的长。
∵E为AB中点，△ABC为等边三角形，
∴EC是AB边上的中线，等边三角形各中线相等，
又AD是BC边上的中线，AD=5，
∴EC=AD=5。
故BP+EP的最小值为5。
∵△ABC是等边三角形，D为BC中点，
∴AD垂直平分BC，即B、C关于AD对称，
∴PB=PC（垂直平分线上的点到两端点距离相等）。
则BP+EP=PC+EP，当P、E、C三点共线时，PC+EP=EC，此时BP+EP最小，最小值为EC的长。
∵E为AB中点，△ABC为等边三角形，
∴EC是AB边上的中线，等边三角形各中线相等，
又AD是BC边上的中线，AD=5，
∴EC=AD=5。
故BP+EP的最小值为5。
