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1. 写出图中平面图形的名称。
(1)
(3)
(1)
四边形
；(2) 五边形
；(3)
圆
；(4) 七边形
。答案
1. (1) 四边形 (2) 五边形 (3) 圆 (4) 七边形
解析
【分析】
这道题是平面图形的基础识别题，我们可以按照图形的构成特征、边的数量来逐个判断：首先回忆多边形的定义，由n条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形就是n边形，由曲线围成的封闭图形对应圆。第一步先数第一个图形的线段边数，得到是4条边，对应四边形；第二步数第二个图形的线段边数，得到是5条边，对应五边形；第三步观察第三个图形，它没有直边，是全由曲线围成的封闭图形，对应圆；第四步数第四个图形的线段边数，得到是7条边，对应七边形。
【解析】
(1) 该图形由4条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合四边形的特征，是四边形；
(2) 该图形由5条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合五边形的特征，是五边形；
(3) 该图形是由平滑曲线围成的封闭平面图形，符合圆的特征，是圆；
(4) 该图形由7条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合七边形的特征，是七边形。
【答案】
(1) 四边形 (2) 五边形 (3) 圆 (4) 七边形
【知识点】
平面图形识别，多边形定义，圆的概念
【点评】
本题属于平面几何入门的基础题型，核心是考察学生对常见平面图形特征的认知，只需要通过数多边形的边数、区分直边多边形和曲线构成的圆就可以完成判断，易错点是数第四个图形的边数时容易数错，做题时可以按顺序标记边的序号避免漏数多数。
【难度系数】
0.9
这道题是平面图形的基础识别题，我们可以按照图形的构成特征、边的数量来逐个判断：首先回忆多边形的定义，由n条线段首尾顺次相接围成的封闭平面图形就是n边形，由曲线围成的封闭图形对应圆。第一步先数第一个图形的线段边数，得到是4条边，对应四边形；第二步数第二个图形的线段边数，得到是5条边，对应五边形；第三步观察第三个图形，它没有直边，是全由曲线围成的封闭图形，对应圆；第四步数第四个图形的线段边数，得到是7条边，对应七边形。
【解析】
(1) 该图形由4条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合四边形的特征，是四边形；
(2) 该图形由5条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合五边形的特征，是五边形；
(3) 该图形是由平滑曲线围成的封闭平面图形，符合圆的特征，是圆；
(4) 该图形由7条线段首尾顺次连接围成封闭平面图形，符合七边形的特征，是七边形。
【答案】
(1) 四边形 (2) 五边形 (3) 圆 (4) 七边形
【知识点】
平面图形识别，多边形定义，圆的概念
【点评】
本题属于平面几何入门的基础题型，核心是考察学生对常见平面图形特征的认知，只需要通过数多边形的边数、区分直边多边形和曲线构成的圆就可以完成判断，易错点是数第四个图形的边数时容易数错，做题时可以按顺序标记边的序号避免漏数多数。
【难度系数】
0.9
2. 下图中有
3
个六边形。答案
2. 3
解析
【分析】
我们要解决这个数六边形的问题，首先明确六边形的判定规则：六边形是由6条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，所有边都必须是直的线段，不能包含曲线。接下来我们从左到右逐个排查所有图形：第一步先排除带有曲线边的图形，第二步对剩下的全直边封闭图形逐一数边的数量，统计边数恰好为6的图形总数即可得到结果。
【解析】
我们对图中6个图形依次判断：
1. 第一个五角星：数出共有10条直边，不属于六边形；
2. 第二个七边形图形：数出共有7条直边，不属于六边形；
3. 箭头形状图形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
4. 两端带尖角的长图形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
5. 顶部带曲边的图形：存在1条曲线边，不符合多边形全为直边的要求，不属于六边形；
6. 最右侧的正六边形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
最终累计得到六边形的总数为3。
【答案】
3
【知识点】
多边形定义，数图形边数
【点评】
本题考察对多边形概念的理解，容易出错的点有两个：一是数边的时候出现多数、漏数的情况，二是误将带曲线边的图形判定为多边形，同时不要被“只有正六边形才是六边形”的惯性思维误导，只要符合6条直边围成封闭图形的要求都属于六边形。
【难度系数】
0.6
我们要解决这个数六边形的问题，首先明确六边形的判定规则：六边形是由6条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，所有边都必须是直的线段，不能包含曲线。接下来我们从左到右逐个排查所有图形：第一步先排除带有曲线边的图形，第二步对剩下的全直边封闭图形逐一数边的数量，统计边数恰好为6的图形总数即可得到结果。
【解析】
我们对图中6个图形依次判断：
1. 第一个五角星：数出共有10条直边，不属于六边形；
2. 第二个七边形图形：数出共有7条直边，不属于六边形；
3. 箭头形状图形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
4. 两端带尖角的长图形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
5. 顶部带曲边的图形：存在1条曲线边，不符合多边形全为直边的要求，不属于六边形；
6. 最右侧的正六边形：数出共有6条直边，属于六边形，计数+1；
最终累计得到六边形的总数为3。
【答案】
3
【知识点】
多边形定义，数图形边数
【点评】
本题考察对多边形概念的理解，容易出错的点有两个：一是数边的时候出现多数、漏数的情况，二是误将带曲线边的图形判定为多边形，同时不要被“只有正六边形才是六边形”的惯性思维误导，只要符合6条直边围成封闭图形的要求都属于六边形。
【难度系数】
0.6
3. 已知一个圆，任意画出它的 $2$ 条半径，能得到
2
个扇形；画出 $3$ 条半径，能得到 6
个扇形。答案
3. 2 6
解析
【分析】
我们首先要明确扇形的构成规则：扇形是由两条半径和夹在这两条半径之间的任意一段弧共同组成的图形，只要满足这个条件的图形都属于扇形。解题时可以分情况讨论：首先看2条半径的场景，两条半径会把整个圆周切成两段不同的弧，每段弧搭配这两条半径都能形成一个扇形，直接就能得到总数。再看3条半径的场景，我们可以用有序计数的方法，先固定其中一条半径作为扇形的一条边，依次搭配其余所有半径作为另一条边，统计所有符合要求的扇形，避免漏数拼接出来的大扇形。
【解析】
1. 2条半径的情况：
根据扇形的定义，2条半径将圆周分割为2段不同的弧，每一段弧与这两条半径组合，都可以构成1个独立的扇形，因此2条半径一共能得到2个扇形。
2. 3条半径的情况：
设圆的3条半径分别为OA、OB、OC：
仅由单段相邻弧构成的小扇形共有3个；
由两段相邻弧拼接得到的大扇形也共有3个；
两类扇形相加总数量为3+3=6，因此3条半径一共能得到6个扇形。
【答案】
2；6
【知识点】
扇形的定义，图形计数
【点评】
本题的易错点是学生容易只统计相邻半径夹劣弧形成的小扇形，漏掉了由多段弧拼接得到的大扇形，解题时按照有序枚举的思路计数，就能避免漏数，同时也能加深对扇形概念的全面理解。
【难度系数】
0.5
我们首先要明确扇形的构成规则：扇形是由两条半径和夹在这两条半径之间的任意一段弧共同组成的图形，只要满足这个条件的图形都属于扇形。解题时可以分情况讨论：首先看2条半径的场景，两条半径会把整个圆周切成两段不同的弧，每段弧搭配这两条半径都能形成一个扇形，直接就能得到总数。再看3条半径的场景，我们可以用有序计数的方法，先固定其中一条半径作为扇形的一条边，依次搭配其余所有半径作为另一条边，统计所有符合要求的扇形，避免漏数拼接出来的大扇形。
【解析】
1. 2条半径的情况：
根据扇形的定义，2条半径将圆周分割为2段不同的弧，每一段弧与这两条半径组合，都可以构成1个独立的扇形，因此2条半径一共能得到2个扇形。
2. 3条半径的情况：
设圆的3条半径分别为OA、OB、OC：
仅由单段相邻弧构成的小扇形共有3个；
由两段相邻弧拼接得到的大扇形也共有3个；
两类扇形相加总数量为3+3=6，因此3条半径一共能得到6个扇形。
【答案】
2；6
【知识点】
扇形的定义，图形计数
【点评】
本题的易错点是学生容易只统计相邻半径夹劣弧形成的小扇形，漏掉了由多段弧拼接得到的大扇形，解题时按照有序枚举的思路计数，就能避免漏数，同时也能加深对扇形概念的全面理解。
【难度系数】
0.5
4. 一个多边形从一个顶点引出的对角线将它分成 $9$ 个三角形，它是
十一
边形。答案
4. 十一
解析
【分析】
我们需要先理清多边形边数和从一个顶点引对角线分出的三角形数量的对应关系：任意n边形，从它的某一个顶点出发，不能向自身以及和该顶点相邻的2个顶点连对角线，因此最多可以连出n-3条对角线，每新增1条对角线就会多分出1个三角形，原本的1个区域连完所有对角线后，总三角形数量就是1+(n-3)=n-2个。题目已知分出9个三角形，直接代入这个关系就能算出n的值，得到多边形的边数。
【解析】
解：设该多边形的边数为n，
根据多边形的性质：从n边形的一个顶点引出的所有对角线，将该多边形分割成的三角形个数为n-2。
由题可知分割得到的三角形数量为9，因此列方程：
$n - 2 = 9$
解得$n=11$
因此这个多边形是十一边形。
【答案】
十一
【知识点】
多边形对角线，多边形边数计算
【点评】
本题属于多边形基础概念应用题，核心是掌握从单个顶点引对角线分割多边形的规律，要注意区分“从一个顶点引出的对角线的条数”和“分割得到的三角形个数”两个不同的结论，避免混淆记错公式导致计算错误。
【难度系数】
0.8
我们需要先理清多边形边数和从一个顶点引对角线分出的三角形数量的对应关系：任意n边形，从它的某一个顶点出发，不能向自身以及和该顶点相邻的2个顶点连对角线，因此最多可以连出n-3条对角线，每新增1条对角线就会多分出1个三角形，原本的1个区域连完所有对角线后，总三角形数量就是1+(n-3)=n-2个。题目已知分出9个三角形，直接代入这个关系就能算出n的值，得到多边形的边数。
【解析】
解：设该多边形的边数为n，
根据多边形的性质：从n边形的一个顶点引出的所有对角线，将该多边形分割成的三角形个数为n-2。
由题可知分割得到的三角形数量为9，因此列方程：
$n - 2 = 9$
解得$n=11$
因此这个多边形是十一边形。
【答案】
十一
【知识点】
多边形对角线，多边形边数计算
【点评】
本题属于多边形基础概念应用题，核心是掌握从单个顶点引对角线分割多边形的规律，要注意区分“从一个顶点引出的对角线的条数”和“分割得到的三角形个数”两个不同的结论，避免混淆记错公式导致计算错误。
【难度系数】
0.8
5. $n$ 边形有
n
个顶点，n
条边，$\frac{n(n - 3)}{2}$
条对角线。答案
5. n n $\frac{n(n - 3)}{2}$
解析
【分析】
我们可以从多边形的定义出发逐步推导：首先，n边形的命名就代表它的边数为n，而多边形的顶点和边是一一对应的，因此很容易得到顶点数和边数。接下来推导对角线数量时，先思考单个顶点可以连接多少条对角线：一个顶点不能和自己连线段，也不能和左右两个相邻的顶点连对角线，因此单个顶点能连的对角线数是总顶点数减去3，再把所有顶点的对角线数相加后，会发现每条对角线被两个顶点各统计了一次，除以2去重就能得到总对角线数。
【解析】
1. 根据多边形的定义，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形称为n边形，因此n边形的边数为n；多边形的顶点和边一一对应，因此顶点数也为n。
2. 推导对角线总数：
从任意一个n边形的顶点出发，排除自身以及和该顶点相邻的2个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为$n-3$，即每个顶点可引出$n-3$条对角线；
n个顶点初步统计得到的对角线总数为$n(n-3)$，但每条对角线连接2个顶点，上述统计中每条对角线都被重复计算了2次，因此实际对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
【答案】
$n$；$n$；$\frac{n(n - 3)}{2}$
【知识点】
多边形基本定义，多边形对角线公式
【点评】
本题属于多边形章节的基础概念题，核心是要理解对角线公式的推导逻辑，避免死记硬背公式出现记错的情况，掌握从单个顶点计数再去重的思路后，就能自主推导出对角线的数量。
【难度系数】
0.8
我们可以从多边形的定义出发逐步推导：首先，n边形的命名就代表它的边数为n，而多边形的顶点和边是一一对应的，因此很容易得到顶点数和边数。接下来推导对角线数量时，先思考单个顶点可以连接多少条对角线：一个顶点不能和自己连线段，也不能和左右两个相邻的顶点连对角线，因此单个顶点能连的对角线数是总顶点数减去3，再把所有顶点的对角线数相加后，会发现每条对角线被两个顶点各统计了一次，除以2去重就能得到总对角线数。
【解析】
1. 根据多边形的定义，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭平面图形称为n边形，因此n边形的边数为n；多边形的顶点和边一一对应，因此顶点数也为n。
2. 推导对角线总数：
从任意一个n边形的顶点出发，排除自身以及和该顶点相邻的2个顶点，剩余可连接对角线的顶点数为$n-3$，即每个顶点可引出$n-3$条对角线；
n个顶点初步统计得到的对角线总数为$n(n-3)$，但每条对角线连接2个顶点，上述统计中每条对角线都被重复计算了2次，因此实际对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
【答案】
$n$；$n$；$\frac{n(n - 3)}{2}$
【知识点】
多边形基本定义，多边形对角线公式
【点评】
本题属于多边形章节的基础概念题，核心是要理解对角线公式的推导逻辑，避免死记硬背公式出现记错的情况，掌握从单个顶点计数再去重的思路后，就能自主推导出对角线的数量。
【难度系数】
0.8
6. 将一个圆分成 $4$ 个扇形，使其圆心角的度数之比为 $2:3:5:8$，则最大的圆心角的度数是
$160^{\circ}$
，最小的圆心角所对的扇形面积占它所在圆面积的 $\frac{1}{9}$
。答案
6. $160^{\circ}$ $\frac{1}{9}$
解析
【分析】
我们首先要明确整圆的总圆心角是周角，度数为360°，题目给出了4个扇形圆心角的度数比，首先可以先算出比例对应的总份数，用总圆心角除以总份数得到单份对应的角度，再乘最大比例的份数就能求出最大圆心角。其次，在同一个圆中，扇形面积占整个圆面积的比值，和该扇形对应圆心角占总周角的比值完全相等，因此直接用最小圆心角对应的份数除以总份数，就能得到最小扇形面积占圆面积的比例，不需要额外计算角度。
【解析】
1. 计算比例总份数：四个圆心角的比例和为 $2+3+5+8=18$
2. 计算单份对应的圆心角度数：整圆圆心角为$360°$，因此单份对应角度为 $360° ÷ 18 = 20°$
3. 计算最大圆心角：最大比例为8，因此最大圆心角度数为 $8×20°=160°$
4. 计算最小扇形面积占比：同圆中扇形面积占比等于对应圆心角份数占总份数的比值，最小比例为2，因此占比为 $\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$
【答案】
$160°$ $\frac{1}{9}$
【知识点】
周角为360°，扇形面积与圆心角关系，按比例分配
【点评】
本题是圆相关的基础题型，考察的知识点直接，只要牢记整圆圆心角的度数、同圆中扇形面积占比和对应圆心角占比相等的性质即可顺利求解，少数同学容易出现总份数计算错误的失误。
【难度系数】
0.8
我们首先要明确整圆的总圆心角是周角，度数为360°，题目给出了4个扇形圆心角的度数比，首先可以先算出比例对应的总份数，用总圆心角除以总份数得到单份对应的角度，再乘最大比例的份数就能求出最大圆心角。其次，在同一个圆中，扇形面积占整个圆面积的比值，和该扇形对应圆心角占总周角的比值完全相等，因此直接用最小圆心角对应的份数除以总份数，就能得到最小扇形面积占圆面积的比例，不需要额外计算角度。
【解析】
1. 计算比例总份数：四个圆心角的比例和为 $2+3+5+8=18$
2. 计算单份对应的圆心角度数：整圆圆心角为$360°$，因此单份对应角度为 $360° ÷ 18 = 20°$
3. 计算最大圆心角：最大比例为8，因此最大圆心角度数为 $8×20°=160°$
4. 计算最小扇形面积占比：同圆中扇形面积占比等于对应圆心角份数占总份数的比值，最小比例为2，因此占比为 $\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$
【答案】
$160°$ $\frac{1}{9}$
【知识点】
周角为360°，扇形面积与圆心角关系，按比例分配
【点评】
本题是圆相关的基础题型，考察的知识点直接，只要牢记整圆圆心角的度数、同圆中扇形面积占比和对应圆心角占比相等的性质即可顺利求解，少数同学容易出现总份数计算错误的失误。
【难度系数】
0.8
7. 如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积比为 $1:2:3:4$，则圆心角为 $108^{\circ}$ 的扇形是(
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
)。A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
7. C
解析
解：设甲、乙、丙、丁四个扇形的圆心角分别为$x$，$2x$，$3x$，$4x$。
因为整个圆的圆心角为$360°$，所以$x + 2x + 3x + 4x = 360°$，
解得$10x = 360°$，$x = 36°$。
则丙扇形的圆心角为$3x = 3×36° = 108°$。
答案：C
因为整个圆的圆心角为$360°$，所以$x + 2x + 3x + 4x = 360°$，
解得$10x = 360°$，$x = 36°$。
则丙扇形的圆心角为$3x = 3×36° = 108°$。
答案：C
8. 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是(
A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
A
)。A.六边形
B.五边形
C.四边形
D.三角形
答案
8. A
解析
当剪去多边形的一个角时，边数可能增加1、不变或减少1。
若原多边形为六边形，剪去一个角后，边数可能为5、6或7，不可能是四边形。
若原多边形为五边形，剪去一个角后，边数可能为4、5或6，可能是四边形。
若原多边形为四边形，剪去一个角后，边数可能为3、4或5，可能是四边形。
若原多边形为三角形，剪去一个角后，边数可能为3或4，可能是四边形。
A
若原多边形为六边形，剪去一个角后，边数可能为5、6或7，不可能是四边形。
若原多边形为五边形，剪去一个角后，边数可能为4、5或6，可能是四边形。
若原多边形为四边形，剪去一个角后，边数可能为3、4或5，可能是四边形。
若原多边形为三角形，剪去一个角后，边数可能为3或4，可能是四边形。
A
9. 下列说法：① 由许多条线段连接而成的图形叫作多边形；② 多边形的边数是不小于 $4$ 的自然数；③ 从一个多边形(边数为 $n$)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成 $(n - 2)$ 个三角形；④ 圆心角的度数一定不大于 $180^{\circ}$。其中，正确的结论有(
A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
A
)。A.$1$ 个
B.$2$ 个
C.$3$ 个
D.$4$ 个
答案
9. A
解析
①错误，多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次连接而成的封闭图形。
②错误，多边形边数不小于3。
③正确，从n边形同一顶点出发连接其余顶点可分割成(n-2)个三角形。
④错误，圆心角度数可以大于180°。
正确结论有1个。
A
②错误，多边形边数不小于3。
③正确，从n边形同一顶点出发连接其余顶点可分割成(n-2)个三角形。
④错误，圆心角度数可以大于180°。
正确结论有1个。
A
10. 如图，把一个圆分成四个扇形，其中 $AB$ 为直径，$\overset{\frown}{BC}$ 的长占圆周长的 $\frac{1}{9}$，$OD$ 平分 $∠ AOC$。
(1) 求 $∠ DOC$ 的度数；
(2) 若圆的半径为 $10\ \mathrm{cm}$，求扇形 $AOC$ 的面积；
(3) 若圆的半径为 $10\ \mathrm{cm}$，求 $\overset{\frown}{BD}$ 的长。
(1) 求 $∠ DOC$ 的度数；
(2) 若圆的半径为 $10\ \mathrm{cm}$，求扇形 $AOC$ 的面积；
(3) 若圆的半径为 $10\ \mathrm{cm}$，求 $\overset{\frown}{BD}$ 的长。
答案
10. (1) $70^{\circ}$ (2) $\frac{350π}{9}cm^{2}$ (3) $\frac{55π}{9}cm$
解析
(1) 解：因为AB为直径，所以∠AOB=180°。
由于$\overset{\frown}{BC}$的长占圆周长的$\frac{1}{9}$，圆的周角为360°，所以∠BOC=$\frac{1}{9}$×360°=40°。
则∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 40°=140°。
因为OD平分∠AOC，所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 解：扇形AOC的面积=$\frac{nπr^{2}}{360}$，其中n=140°，r=10cm。
所以扇形AOC的面积=$\frac{140×π×10^{2}}{360}$=$\frac{140×π×100}{360}$=$\frac{14000π}{360}$=$\frac{350π}{9}$cm²。
(3) 解：由(1)知∠DOC=70°，∠BOC=40°，所以∠BOD=∠DOC + ∠BOC=70° + 40°=110°。
$\overset{\frown}{BD}$的长=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{110×π×10}{180}$=$\frac{1100π}{180}$=$\frac{55π}{9}$cm。
由于$\overset{\frown}{BC}$的长占圆周长的$\frac{1}{9}$，圆的周角为360°，所以∠BOC=$\frac{1}{9}$×360°=40°。
则∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 40°=140°。
因为OD平分∠AOC，所以∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×140°=70°。
(2) 解：扇形AOC的面积=$\frac{nπr^{2}}{360}$，其中n=140°，r=10cm。
所以扇形AOC的面积=$\frac{140×π×10^{2}}{360}$=$\frac{140×π×100}{360}$=$\frac{14000π}{360}$=$\frac{350π}{9}$cm²。
(3) 解：由(1)知∠DOC=70°，∠BOC=40°，所以∠BOD=∠DOC + ∠BOC=70° + 40°=110°。
$\overset{\frown}{BD}$的长=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{110×π×10}{180}$=$\frac{1100π}{180}$=$\frac{55π}{9}$cm。
