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6 一轮船顺流航行 100 km 与逆流航行 64 km 所用的时间之和等于先逆流航行 80 km 再沿原路顺流航行返回所用的时间之和，则该船在静水中的速度与水流速度的比为（
A.$9:1$
B.$5:4$
C.$4:1$
D.$5:1$
A
）A.$9:1$
B.$5:4$
C.$4:1$
D.$5:1$
答案
6. A
解析
【分析】
本题属于流水行船的行程问题，核心公式为：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，时间=路程÷速度。解题思路是：设静水速度和水流速度为未知数，根据两种航行方式的时间和相等列出分式方程，通过移项、化简求出两速度的比值，进而确定答案。
【解析】
设船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为$y$ km/h，则顺流速度为$(x+y)$ km/h，逆流速度为$(x-y)$ km/h。
根据题意，两种航行方式的时间和相等，可列方程：
$\frac{100}{x+y} + \frac{64}{x-y} = \frac{80}{x-y} + \frac{80}{x+y}$
移项合并同类项：
$\frac{100}{x+y} - \frac{80}{x+y} = \frac{80}{x-y} - \frac{64}{x-y}$
化简得：
$\frac{20}{x+y} = \frac{16}{x-y}$
交叉相乘得：
$20(x-y) = 16(x+y)$
展开并整理：
$20x - 20y = 16x + 16y \\4x = 36y \frac{x}{y} = \frac{9}{1}$
即船在静水中的速度与水流速度的比为$9:1$。
【答案】
A
【知识点】
流水行船问题、分式方程应用、比例性质
【点评】
本题是典型的流水行船行程问题，关键是明确顺流、逆流速度的表达式，利用时间相等建立方程，化简过程中注意分式的移项和运算，难度适中，需要学生掌握行程问题的基本公式和分式方程的解法。
【难度系数】
0.5
本题属于流水行船的行程问题，核心公式为：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度，时间=路程÷速度。解题思路是：设静水速度和水流速度为未知数，根据两种航行方式的时间和相等列出分式方程，通过移项、化简求出两速度的比值，进而确定答案。
【解析】
设船在静水中的速度为$x$ km/h，水流速度为$y$ km/h，则顺流速度为$(x+y)$ km/h，逆流速度为$(x-y)$ km/h。
根据题意，两种航行方式的时间和相等，可列方程：
$\frac{100}{x+y} + \frac{64}{x-y} = \frac{80}{x-y} + \frac{80}{x+y}$
移项合并同类项：
$\frac{100}{x+y} - \frac{80}{x+y} = \frac{80}{x-y} - \frac{64}{x-y}$
化简得：
$\frac{20}{x+y} = \frac{16}{x-y}$
交叉相乘得：
$20(x-y) = 16(x+y)$
展开并整理：
$20x - 20y = 16x + 16y \\4x = 36y \frac{x}{y} = \frac{9}{1}$
即船在静水中的速度与水流速度的比为$9:1$。
【答案】
A
【知识点】
流水行船问题、分式方程应用、比例性质
【点评】
本题是典型的流水行船行程问题，关键是明确顺流、逆流速度的表达式，利用时间相等建立方程，化简过程中注意分式的移项和运算，难度适中，需要学生掌握行程问题的基本公式和分式方程的解法。
【难度系数】
0.5
7 小明和小强共同清点一批图书,已知小明清点完 200 本图书所用的时间与小强清点完 300 本图书所用的时间相同,且小强平均每分钟比小明多清点 10 本,则小明平均每分钟清点图书
20
本.答案
7. 20
解析
【分析】
首先明确题目中的等量关系：小明清点200本图书的时间与小强清点300本图书的时间相等。根据“时间=工作量÷工作效率”，设小明平均每分钟清点$x$本，则小强平均每分钟清点$(x+10)$本，据此列出分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义。
【解析】
设小明平均每分钟清点图书$x$本，则小强平均每分钟清点图书$(x+10)$本。
根据题意，两人所用时间相同，可列方程：
$\frac{200}{x} = \frac{300}{x+10}$
交叉相乘得：$200(x+10) = 300x$
展开括号：$200x + 2000 = 300x$
移项合并同类项：$100x = 2000$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x=20≠0$，$x+10=30≠0$，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，核心是找准“时间相等”的等量关系，需注意解分式方程后要检验解的合理性，属于初中数学基础题型。
【难度系数】
0.6
首先明确题目中的等量关系：小明清点200本图书的时间与小强清点300本图书的时间相等。根据“时间=工作量÷工作效率”，设小明平均每分钟清点$x$本，则小强平均每分钟清点$(x+10)$本，据此列出分式方程，求解后需检验解是否符合实际意义。
【解析】
设小明平均每分钟清点图书$x$本，则小强平均每分钟清点图书$(x+10)$本。
根据题意，两人所用时间相同，可列方程：
$\frac{200}{x} = \frac{300}{x+10}$
交叉相乘得：$200(x+10) = 300x$
展开括号：$200x + 2000 = 300x$
移项合并同类项：$100x = 2000$
解得：$x = 20$
检验：当$x=20$时，$x=20≠0$，$x+10=30≠0$，符合实际意义。
【答案】
20
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题是分式方程在实际生活中的典型应用，核心是找准“时间相等”的等量关系，需注意解分式方程后要检验解的合理性，属于初中数学基础题型。
【难度系数】
0.6
8 教材 P169 习题 18.5 第 2 变式 解下面关于 $x$ 的方程：
(1) $\dfrac{1}{x-2}-a=2(a≠-2)$；
(2) $\dfrac{n}{x}-\dfrac{3}{x+3}=0(n≠0\mathrm{ 且 }n≠3).$
(1) $\dfrac{1}{x-2}-a=2(a≠-2)$；
(2) $\dfrac{n}{x}-\dfrac{3}{x+3}=0(n≠0\mathrm{ 且 }n≠3).$
答案
8. (1) $x=\dfrac{2a+5}{a+2}$
(2) $x=\dfrac{3n}{3-n}$
(2) $x=\dfrac{3n}{3-n}$
解析
【分析】解分式方程的核心思路是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，需注意去分母时要给方程两边每一项都乘最简公分母，同时利用题目给出的限制条件（如$a≠-2$、$n≠0$且$n≠3$）保证分母不为0，最终解出整式方程即可。对于本题的两个小题，分别确定最简公分母，按步骤转化为整式方程求解即可。
【解析】
(1) 原方程为$\dfrac{1}{x-2}-a=2$，移项得：$\dfrac{1}{x-2}=a+2$。
因为$a≠-2$，所以$a+2≠0$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$1=(a+2)(x-2)$
展开右边：$1=(a+2)x - 2(a+2)$
移项整理：$(a+2)x=1 + 2a +4=2a+5$
两边同除以$(a+2)$，得：$x=\dfrac{2a+5}{a+2}$。
(2) 原方程为$\dfrac{n}{x}-\dfrac{3}{x+3}=0$，移项得：$\dfrac{n}{x}=\dfrac{3}{x+3}$。
因为$n≠0$且$n≠3$，所以方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$n(x+3)=3x$
展开左边：$nx +3n=3x$
移项整理：$nx -3x=-3n$，即$x(n-3)=-3n$
两边同除以$(n-3)$，得：$x=\dfrac{-3n}{n-3}=\dfrac{3n}{3-n}$。
【答案】(1) $x=\dfrac{2a+5}{a+2}$；(2) $x=\dfrac{3n}{3-n}$
【知识点】分式方程的解法、一元一次方程的求解
【点评】本题是分式方程解法的基础变式题，重点考查分式方程转化为整式方程的基本操作，需注意去分母时的细节，是分式方程学习的典型基础题型。
【难度系数】0.6
【解析】
(1) 原方程为$\dfrac{1}{x-2}-a=2$，移项得：$\dfrac{1}{x-2}=a+2$。
因为$a≠-2$，所以$a+2≠0$，方程两边同乘最简公分母$(x-2)$，得：
$1=(a+2)(x-2)$
展开右边：$1=(a+2)x - 2(a+2)$
移项整理：$(a+2)x=1 + 2a +4=2a+5$
两边同除以$(a+2)$，得：$x=\dfrac{2a+5}{a+2}$。
(2) 原方程为$\dfrac{n}{x}-\dfrac{3}{x+3}=0$，移项得：$\dfrac{n}{x}=\dfrac{3}{x+3}$。
因为$n≠0$且$n≠3$，所以方程两边同乘最简公分母$x(x+3)$，得：
$n(x+3)=3x$
展开左边：$nx +3n=3x$
移项整理：$nx -3x=-3n$，即$x(n-3)=-3n$
两边同除以$(n-3)$，得：$x=\dfrac{-3n}{n-3}=\dfrac{3n}{3-n}$。
【答案】(1) $x=\dfrac{2a+5}{a+2}$；(2) $x=\dfrac{3n}{3-n}$
【知识点】分式方程的解法、一元一次方程的求解
【点评】本题是分式方程解法的基础变式题，重点考查分式方程转化为整式方程的基本操作，需注意去分母时的细节，是分式方程学习的典型基础题型。
【难度系数】0.6
9 某文具厂加工一种学生画图工具2 500套,在加工了1 000套后,采用新技术,使每天的工作效率提高到原来的1.5倍,结果提前5天完成任务.该文具厂原来每天加工多少套画图工具?
答案
9. 设该文具厂原来每天加工 $x$ 套画图工具. 根据题意,得
$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{1000}{x}+\dfrac{2500-1000}{1.5x}+5$,解得 $x=100$. 经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意. $\therefore$ 该文具厂原来每天加工 100 套画图工具
$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{1000}{x}+\dfrac{2500-1000}{1.5x}+5$,解得 $x=100$. 经检验,$x=100$是原分式方程的解,且符合题意. $\therefore$ 该文具厂原来每天加工 100 套画图工具
解析
【分析】
这是一道工程问题的分式方程应用题，解题思路为：1. 设原来每天加工的套数为未知数$x$；2. 明确原计划总时间、实际分两段加工的时间，找到等量关系：原计划完成2500套的时间 = 先加工1000套的时间 + 采用新技术后加工剩余套数的时间 + 提前的5天；3. 列分式方程求解，最后检验解的合理性。
【解析】
设该文具厂原来每天加工$x$套画图工具。
根据题意，原计划完成2500套的总时间为$\dfrac{2500}{x}$天；实际用时分为两部分：加工1000套用时$\dfrac{1000}{x}$天，剩余$2500-1000=1500$套，效率提高到原来的1.5倍，即每天加工$1.5x$套，用时$\dfrac{1500}{1.5x}$天，实际总用时为$\dfrac{1000}{x}+\dfrac{1500}{1.5x}$天。
因提前5天完成任务，故列方程：
$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{1000}{x}+\dfrac{1500}{1.5x}+5$
化简方程：$\dfrac{1500}{1.5x}=\dfrac{1000}{x}$，代入得$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{2000}{x}+5$，移项得$\dfrac{500}{x}=5$，解得$x=100$。
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
该文具厂原来每天加工100套画图工具
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的典型应用题，核心是通过时间差建立等量关系，需注意分式方程解的双重检验（是否为方程的解、是否符合实际意义），是初中数学的重点题型。
【难度系数】
0.6
这是一道工程问题的分式方程应用题，解题思路为：1. 设原来每天加工的套数为未知数$x$；2. 明确原计划总时间、实际分两段加工的时间，找到等量关系：原计划完成2500套的时间 = 先加工1000套的时间 + 采用新技术后加工剩余套数的时间 + 提前的5天；3. 列分式方程求解，最后检验解的合理性。
【解析】
设该文具厂原来每天加工$x$套画图工具。
根据题意，原计划完成2500套的总时间为$\dfrac{2500}{x}$天；实际用时分为两部分：加工1000套用时$\dfrac{1000}{x}$天，剩余$2500-1000=1500$套，效率提高到原来的1.5倍，即每天加工$1.5x$套，用时$\dfrac{1500}{1.5x}$天，实际总用时为$\dfrac{1000}{x}+\dfrac{1500}{1.5x}$天。
因提前5天完成任务，故列方程：
$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{1000}{x}+\dfrac{1500}{1.5x}+5$
化简方程：$\dfrac{1500}{1.5x}=\dfrac{1000}{x}$，代入得$\dfrac{2500}{x}=\dfrac{2000}{x}+5$，移项得$\dfrac{500}{x}=5$，解得$x=100$。
经检验，$x=100$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
该文具厂原来每天加工100套画图工具
【知识点】
分式方程的应用、工程问题
【点评】
本题是工程类分式方程的典型应用题，核心是通过时间差建立等量关系，需注意分式方程解的双重检验（是否为方程的解、是否符合实际意义），是初中数学的重点题型。
【难度系数】
0.6
10 某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场,就用4000元购进一批这种衬衫,面世后果然供不应求.于是又用8800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批的2倍,但每件的进价贵了4元.
(1)该商场进货员购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是多少元?
(2)如果两批衬衫按相同的标价销售,最后的40件衬衫按七折优惠销售,要使两批衬衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么这种衬衫每件的标价至少是多少元?
(1)该商场进货员购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是多少元?
(2)如果两批衬衫按相同的标价销售,最后的40件衬衫按七折优惠销售,要使两批衬衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么这种衬衫每件的标价至少是多少元?
答案
10. (1) 设该商场进货员购进的第一批衬衫每件的进价是 $x$ 元,则购进的第二批衬衫每件的进价是$(x+4)$元. 根据题意,得 $2×\dfrac{4000}{x}=\dfrac{8800}{x+4}$,解得 $x=40$. 经检验,$x=40$ 是原分式方程的解,且符合题意. $\therefore x+4=40+4=44$. $\therefore$ 该商场进货员购进的第一批、第二批衬衫每件的进价分别是 40 元和 44 元
(2) $\dfrac{4000}{40}+\dfrac{8800}{44}=300$(件). 设这种衬衫每件的标价是 $y$ 元. 根据题意,得$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$,解得$y≥80$. $\therefore$ 这种衬衫每件的标价至少是 80 元
(2) $\dfrac{4000}{40}+\dfrac{8800}{44}=300$(件). 设这种衬衫每件的标价是 $y$ 元. 根据题意,得$(300-40)y+40×0.7y≥(4000+8800)×(1+80\%)$,解得$y≥80$. $\therefore$ 这种衬衫每件的标价至少是 80 元
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问是分式方程的实际应用，核心是利用“第二批购进数量是第一批的2倍”的数量关系建立方程，需注意分式方程求解后要检验解的合理性；第(2)问是一元一次不等式的实际应用，先计算两批衬衫的总数量，再根据“利润率不低于80%”确定总销售额的下限，结合“40件七折销售”的条件建立不等式，求解得到标价的最小值。
【解析】
(1) 设该商场进货员购进的第一批衬衫每件的进价是$ x $元，则第二批衬衫每件的进价是$ (x+4) $元。
根据“第二批所购数量是第一批的2倍”，列方程：
$ 2×\dfrac{4000}{x} = \dfrac{8800}{x+4} $
解方程：
两边同乘$ x(x+4) $得：$ 8000(x+4) = 8800x $
化简得：$ 8000x + 32000 = 8800x $
移项得：$ 800x = 32000 $
解得：$ x = 40 $
经检验，$ x=40 $是原分式方程的解，且符合题意。
则第二批衬衫每件进价为：$ 40 + 4 = 44 $（元）
(2) 计算两批衬衫总数量：
第一批数量：$ \dfrac{4000}{40} = 100 $件，第二批数量：$ \dfrac{8800}{44} = 200 $件，总数量：$ 100 + 200 = 300 $件。
设这种衬衫每件的标价是$ y $元，要使利润率不低于80%，总销售额需≥总成本×(1+80%)，总成本为$ 4000 + 8800 = 12800 $元，列不等式：
$ (300 - 40)y + 40×0.7y ≥ 12800×(1 + 80\%) $
化简得：$ 260y + 28y ≥ 23040 $，即$ 288y ≥ 23040 $
解得：$ y ≥ 80 $
【答案】
(1) 第一批衬衫每件进价40元，第二批每件进价44元；
(2) 这种衬衫每件的标价至少是80元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系与不等关系，注意分式方程需检验解的合理性，不等式应用要正确理解“利润率不低于80%”的含义，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问是分式方程的实际应用，核心是利用“第二批购进数量是第一批的2倍”的数量关系建立方程，需注意分式方程求解后要检验解的合理性；第(2)问是一元一次不等式的实际应用，先计算两批衬衫的总数量，再根据“利润率不低于80%”确定总销售额的下限，结合“40件七折销售”的条件建立不等式，求解得到标价的最小值。
【解析】
(1) 设该商场进货员购进的第一批衬衫每件的进价是$ x $元，则第二批衬衫每件的进价是$ (x+4) $元。
根据“第二批所购数量是第一批的2倍”，列方程：
$ 2×\dfrac{4000}{x} = \dfrac{8800}{x+4} $
解方程：
两边同乘$ x(x+4) $得：$ 8000(x+4) = 8800x $
化简得：$ 8000x + 32000 = 8800x $
移项得：$ 800x = 32000 $
解得：$ x = 40 $
经检验，$ x=40 $是原分式方程的解，且符合题意。
则第二批衬衫每件进价为：$ 40 + 4 = 44 $（元）
(2) 计算两批衬衫总数量：
第一批数量：$ \dfrac{4000}{40} = 100 $件，第二批数量：$ \dfrac{8800}{44} = 200 $件，总数量：$ 100 + 200 = 300 $件。
设这种衬衫每件的标价是$ y $元，要使利润率不低于80%，总销售额需≥总成本×(1+80%)，总成本为$ 4000 + 8800 = 12800 $元，列不等式：
$ (300 - 40)y + 40×0.7y ≥ 12800×(1 + 80\%) $
化简得：$ 260y + 28y ≥ 23040 $，即$ 288y ≥ 23040 $
解得：$ y ≥ 80 $
【答案】
(1) 第一批衬衫每件进价40元，第二批每件进价44元；
(2) 这种衬衫每件的标价至少是80元。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合实际销售场景，考查分式方程和一元一次不等式的应用，解题关键是准确提取题目中的等量关系与不等关系，注意分式方程需检验解的合理性，不等式应用要正确理解“利润率不低于80%”的含义，整体难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.6
