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10 把下面各式写成一个整体的幂的形式：
(1) $(x+y)^{2}· (x+y)^{3}=$
(2) $(y-x)^{2}· (x-y)^{3}=$
(1) $(x+y)^{2}· (x+y)^{3}=$
$(x+y)^{5}$
；(2) $(y-x)^{2}· (x-y)^{3}=$
$(x-y)^{5}$
.答案
(1) $(x+y)^{5}$ (2) $(x-y)^{5}$
解析
【分析】
本题考查同底数幂的乘法法则的应用，解题思路为：①对于同底数幂相乘，直接运用“底数不变，指数相加”的法则计算；②当底数互为相反数时，利用“互为相反数的偶次幂相等”的性质，将底数转化为相同形式后，再应用同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
(1) 式子$(x+y)^2·(x+y)^3$中，两个因式的底数均为$(x+y)$，属于同底数幂相乘。根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），代入指数计算得：原式=$(x+y)^{2+3}=(x+y)^5$。
(2) 式子$(y-x)^2·(x-y)^3$中，先处理底数：因为$(y-x)=-(x-y)$，根据偶次幂的性质，$(-a)^2=a^2$，所以$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(x-y)^2$，此时原式转化为同底数幂相乘的形式：$(x-y)^2·(x-y)^3$，再应用同底数幂的乘法法则，得：原式=$(x-y)^{2+3}=(x-y)^5$。
【答案】
(1) $(x+y)^5$；(2) $(x-y)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的符号性质
【点评】
本题是整式运算中的基础题型，重点考查同底数幂乘法法则的直接应用及底数互为相反数时的转化技巧，解题关键在于正确处理第二题的底数变形，整体难度不大，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.5
本题考查同底数幂的乘法法则的应用，解题思路为：①对于同底数幂相乘，直接运用“底数不变，指数相加”的法则计算；②当底数互为相反数时，利用“互为相反数的偶次幂相等”的性质，将底数转化为相同形式后，再应用同底数幂的乘法法则计算。
【解析】
(1) 式子$(x+y)^2·(x+y)^3$中，两个因式的底数均为$(x+y)$，属于同底数幂相乘。根据同底数幂的乘法法则：$a^m·a^n=a^{m+n}$（$a≠0$，m、n为正整数），代入指数计算得：原式=$(x+y)^{2+3}=(x+y)^5$。
(2) 式子$(y-x)^2·(x-y)^3$中，先处理底数：因为$(y-x)=-(x-y)$，根据偶次幂的性质，$(-a)^2=a^2$，所以$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(x-y)^2$，此时原式转化为同底数幂相乘的形式：$(x-y)^2·(x-y)^3$，再应用同底数幂的乘法法则，得：原式=$(x-y)^{2+3}=(x-y)^5$。
【答案】
(1) $(x+y)^5$；(2) $(x-y)^5$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的符号性质
【点评】
本题是整式运算中的基础题型，重点考查同底数幂乘法法则的直接应用及底数互为相反数时的转化技巧，解题关键在于正确处理第二题的底数变形，整体难度不大，是学生需掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.5
11 若 $3^{x+1}=243$,则 $x=$
$4$
.答案
4
解析
【分析】
本题考查同底数幂相等的性质，解题思路是先将等式右侧的243转化为以3为底的幂的形式，再依据同底数幂相等时指数相等的规则，列出关于x的一元一次方程，进而求解x的值。
【解析】
解：因为$243 = 3^5$，所以原方程$3^{x+1}=243$可转化为$3^{x+1}=3^5$。根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，可得$x + 1 = 5$，解得$x = 5 - 1 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
同底数幂的性质、指数方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是利用同底数幂相等则指数相等的规则转化为一元一次方程，难度较低，适合巩固幂的基本运算知识。
【难度系数】
0.8
本题考查同底数幂相等的性质，解题思路是先将等式右侧的243转化为以3为底的幂的形式，再依据同底数幂相等时指数相等的规则，列出关于x的一元一次方程，进而求解x的值。
【解析】
解：因为$243 = 3^5$，所以原方程$3^{x+1}=243$可转化为$3^{x+1}=3^5$。根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，可得$x + 1 = 5$，解得$x = 5 - 1 = 4$。
【答案】
4
【知识点】
同底数幂的性质、指数方程求解
【点评】
本题是幂运算的基础题型，核心是利用同底数幂相等则指数相等的规则转化为一元一次方程，难度较低，适合巩固幂的基本运算知识。
【难度系数】
0.8
12 教材P98问题变式 一种电子计算机每秒可以进行$10^{8}$次运算,它一天工作$8× 10^{4}$秒,则100天一共可以进行
$8×10^{14}$
次运算.答案
$8×10^{14}$
解析
【分析】
要计算100天的总运算次数，需明确总运算次数=每秒运算次数×总工作时间。先算出100天的总工作时间，再与每秒运算次数相乘，计算时运用科学计数法的乘法规则：系数相乘，同底数幂的指数相加。
【解析】
1. 计算100天的总工作时间：
总时间 = 每天工作时间 × 天数 = $8×10^4 × 100$，将100转化为$10^2$，则总时间为$8×10^4 ×10^2 =8×10^{4+2}=8×10^6$秒。
2. 计算总运算次数：
总运算次数 = 每秒运算次数 × 总时间 = $10^8 ×8×10^6$，根据同底数幂乘法法则，$10^8×10^6=10^{8+6}=10^{14}$，因此总运算次数为$8×10^{14}$次。
【答案】
$8×10^{14}$
【知识点】
科学计数法的乘法运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查科学计数法在实际运算中的应用，核心是掌握同底数幂的乘法法则，将100转化为$10^2$是计算的关键，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】
0.3
要计算100天的总运算次数，需明确总运算次数=每秒运算次数×总工作时间。先算出100天的总工作时间，再与每秒运算次数相乘，计算时运用科学计数法的乘法规则：系数相乘，同底数幂的指数相加。
【解析】
1. 计算100天的总工作时间：
总时间 = 每天工作时间 × 天数 = $8×10^4 × 100$，将100转化为$10^2$，则总时间为$8×10^4 ×10^2 =8×10^{4+2}=8×10^6$秒。
2. 计算总运算次数：
总运算次数 = 每秒运算次数 × 总时间 = $10^8 ×8×10^6$，根据同底数幂乘法法则，$10^8×10^6=10^{8+6}=10^{14}$，因此总运算次数为$8×10^{14}$次。
【答案】
$8×10^{14}$
【知识点】
科学计数法的乘法运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查科学计数法在实际运算中的应用，核心是掌握同底数幂的乘法法则，将100转化为$10^2$是计算的关键，属于基础运算题，难度较低。
【难度系数】
0.3
13 计算：
(1) $b · (-b)^5 + (-b) · (-b)^5$；
(2) $x^5 · x^5 + (-x)^3 · x · (-x)^6$；
(3) $a^m · a^{m-3} + a^{2m-4} · a$；
(4) $(n-m)^3 · (m-n)^6 + (m-n)^8 · [-(m-n)]$.
(1) $b · (-b)^5 + (-b) · (-b)^5$；
(2) $x^5 · x^5 + (-x)^3 · x · (-x)^6$；
(3) $a^m · a^{m-3} + a^{2m-4} · a$；
(4) $(n-m)^3 · (m-n)^6 + (m-n)^8 · [-(m-n)]$.
答案
(1) 0 (2) 0 (3) $2a^{2m-3}$ (4) $2(n-m)^9$
解析
【分析】
这是一组幂的混合运算题，解题核心是运用同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$），同时需注意处理幂的符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），以及底数互为相反数时转化为相同底数的技巧，最后合并同类项得到结果。每道题先分别计算各项的乘积，再进行加减合并。
【解析】
(1) 先计算各项的同底数幂乘法：
原式 = $b·(-b^5) + (-b)·(-b^5)$
= $-b^{1+5} + b^{1+5}$
= $-b^6 + b^6$
= $0$；
(2) 分别计算各项：
原式 = $x^{5+5} + (-x^3)·x·x^6$
= $x^{10} + (-x^{3+1+6})$
= $x^{10} - x^{10}$
= $0$；
(3) 运用同底数幂乘法法则计算：
原式 = $a^{m + m -3} + a^{2m -4 +1}$
= $a^{2m -3} + a^{2m -3}$
= $2a^{2m -3}$；
(4) 先转化底数为相同形式，再计算：
原式 = $(n-m)^3·(n-m)^6 + (n-m)^8·(n-m)$（注：$(m-n)^6=(n-m)^6$，$(m-n)^8=(n-m)^8$，$-(m-n)=(n-m)$）
= $(n-m)^{3+6} + (n-m)^{8+1}$
= $(n-m)^9 + (n-m)^9$
= $2(n-m)^9$；
【答案】
(1) $0$；(2) $0$；(3) $2a^{2m-3}$；(4) $2(n-m)^9$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的符号运算、合并同类项
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用，关键在于准确处理幂的符号及互为相反数底数的转化，难度适中，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.6
这是一组幂的混合运算题，解题核心是运用同底数幂的乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$），同时需注意处理幂的符号（负数的奇次幂为负，偶次幂为正），以及底数互为相反数时转化为相同底数的技巧，最后合并同类项得到结果。每道题先分别计算各项的乘积，再进行加减合并。
【解析】
(1) 先计算各项的同底数幂乘法：
原式 = $b·(-b^5) + (-b)·(-b^5)$
= $-b^{1+5} + b^{1+5}$
= $-b^6 + b^6$
= $0$；
(2) 分别计算各项：
原式 = $x^{5+5} + (-x^3)·x·x^6$
= $x^{10} + (-x^{3+1+6})$
= $x^{10} - x^{10}$
= $0$；
(3) 运用同底数幂乘法法则计算：
原式 = $a^{m + m -3} + a^{2m -4 +1}$
= $a^{2m -3} + a^{2m -3}$
= $2a^{2m -3}$；
(4) 先转化底数为相同形式，再计算：
原式 = $(n-m)^3·(n-m)^6 + (n-m)^8·(n-m)$（注：$(m-n)^6=(n-m)^6$，$(m-n)^8=(n-m)^8$，$-(m-n)=(n-m)$）
= $(n-m)^{3+6} + (n-m)^{8+1}$
= $(n-m)^9 + (n-m)^9$
= $2(n-m)^9$；
【答案】
(1) $0$；(2) $0$；(3) $2a^{2m-3}$；(4) $2(n-m)^9$
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的符号运算、合并同类项
【点评】
本题主要考查同底数幂乘法法则的应用，关键在于准确处理幂的符号及互为相反数底数的转化，难度适中，适合基础巩固练习。
【难度系数】
0.6
14 已知 $a^{n+1} · a^{m+2}=a^{7}$, 且 $m-2n=1$, 求 $m^{n}$ 的值.
答案
$\because a^{n+1} · a^{m+2}=a^{7},\therefore n+1+m+2=7,即n+m=4,m=4-n.\therefore m-2n=4-n-2n=1.\therefore n=1.\therefore m=3.\therefore m^{n}=3$
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用同底数幂的乘法法则，将幂的等式转化为关于m、n的方程，再结合已知的m与n的关系组成二元一次方程组，求解出m、n的值后代入计算$m^n$。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^p · a^q = a^{p+q}$，对$a^{n+1} · a^{m+2}$化简得：
$a^{n+1} · a^{m+2} = a^{(n+1)+(m+2)} = a^{m+n+3}$
已知$a^{n+1} · a^{m+2}=a^7$，则指数相等，可得：
$m + n + 3 = 7$，化简得$m + n = 4$
联立已知条件$m - 2n = 1$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ m - 2n = 1 \end{cases}$
用消元法解方程组：将第一个方程减去第二个方程，得：
$(m + n) - (m - 2n) = 4 - 1$
$3n = 3$，解得$n = 1$
把$n = 1$代入$m + n = 4$，得$m = 4 - 1 = 3$
因此$m^n = 3^1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法、二元一次方程组
【点评】
本题综合考查同底数幂的乘法法则和二元一次方程组的解法，属于基础题型，关键是正确运用幂的运算性质得到关于m、n的方程，进而求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先利用同底数幂的乘法法则，将幂的等式转化为关于m、n的方程，再结合已知的m与n的关系组成二元一次方程组，求解出m、n的值后代入计算$m^n$。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^p · a^q = a^{p+q}$，对$a^{n+1} · a^{m+2}$化简得：
$a^{n+1} · a^{m+2} = a^{(n+1)+(m+2)} = a^{m+n+3}$
已知$a^{n+1} · a^{m+2}=a^7$，则指数相等，可得：
$m + n + 3 = 7$，化简得$m + n = 4$
联立已知条件$m - 2n = 1$，得到二元一次方程组：
$\begin{cases} m + n = 4 \\ m - 2n = 1 \end{cases}$
用消元法解方程组：将第一个方程减去第二个方程，得：
$(m + n) - (m - 2n) = 4 - 1$
$3n = 3$，解得$n = 1$
把$n = 1$代入$m + n = 4$，得$m = 4 - 1 = 3$
因此$m^n = 3^1 = 3$
【答案】
3
【知识点】
同底数幂的乘法、二元一次方程组
【点评】
本题综合考查同底数幂的乘法法则和二元一次方程组的解法，属于基础题型，关键是正确运用幂的运算性质得到关于m、n的方程，进而求解，难度适中。
【难度系数】
0.7
15 某病毒的平均直径只有100 nm,1 000个排列在一起才能被人看到,它没有双腿,但一个喷嚏就可以使它以大约$2^{5}\ \mathrm{m/s}$的飞行速度传播. 如果一个携带该病毒的患者打了一个喷嚏,那么请计算$2^{3}\ \mathrm{s}$后病毒飞行的距离.
答案
由题意,得$2^{5}×2^{3}=2^{8}(\mathrm{m}),即2^{3}\ \mathrm{s}$后病毒飞行的距离大约为$2^{8}\ \mathrm{m}$
解析
【分析】
本题要求计算病毒飞行的距离，根据路程公式：路程=速度×时间，已知速度为$2^5\ \mathrm{m/s}$，时间为$2^3\ \mathrm{s}$，需运用同底数幂的乘法法则计算结果。
【解析】
根据路程=速度×时间，代入数据可得：
飞行距离 = $2^5 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，则：
$2^5 × 2^3 = 2^{5+3} = 2^8(\mathrm{m})$
【答案】
$2^8\ \mathrm{m}$
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题结合实际情境考查同底数幂的乘法，核心是掌握同底数幂的乘法法则，计算过程简单，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
本题要求计算病毒飞行的距离，根据路程公式：路程=速度×时间，已知速度为$2^5\ \mathrm{m/s}$，时间为$2^3\ \mathrm{s}$，需运用同底数幂的乘法法则计算结果。
【解析】
根据路程=速度×时间，代入数据可得：
飞行距离 = $2^5 × 2^3$
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，则：
$2^5 × 2^3 = 2^{5+3} = 2^8(\mathrm{m})$
【答案】
$2^8\ \mathrm{m}$
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题结合实际情境考查同底数幂的乘法，核心是掌握同底数幂的乘法法则，计算过程简单，属于基础运算题。
【难度系数】
0.8
16 已知$(a+b)^{a}· (b+a)^{b}=(a+b)^{7}$,且$(a-b)^{a+4}· (a-b)^{4-b}=(a-b)^{7}$,求$ab^{2}$的值.
答案
由题意,得$\begin{cases}a+b=7,\\a+4+4-b=7,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=4.\end{cases}\therefore ab^{2}=3×4^{2}=48$
解析
【分析】首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。题目中的两个等式均为同底数幂相乘的形式，可依据该法则分别列出关于a、b的方程，组成二元一次方程组，解出a、b的值后，代入代数式$ab^2$计算即可。
【解析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
对于等式$(a+b)^{a}· (b+a)^{b}=(a+b)^{7}$，因底数相同，故指数相等，即$a + b = 7$；
对于等式$(a-b)^{a+4}· (a-b)^{4-b}=(a-b)^{7}$，同理指数相加得：$(a+4)+(4 - b) = 7$，化简得$a - b = -1$；
联立方程组：$\begin{cases}a + b = 7 \\ a - b = -1 \end{cases}$，
两式相加得：$2a = 6$，解得$a = 3$，
将$a = 3$代入$a + b =7$，得$b = 4$；
因此$ab^2 = 3×4^2 = 3×16 = 48$。
【答案】48
【知识点】同底数幂的乘法，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的应用，通过法则建立方程组求解未知数，再代入代数式计算，属于基础题型，关键是准确运用同底数幂相乘的指数运算规则，解方程组时需保证计算准确。
【难度系数】0.7
【解析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
对于等式$(a+b)^{a}· (b+a)^{b}=(a+b)^{7}$，因底数相同，故指数相等，即$a + b = 7$；
对于等式$(a-b)^{a+4}· (a-b)^{4-b}=(a-b)^{7}$，同理指数相加得：$(a+4)+(4 - b) = 7$，化简得$a - b = -1$；
联立方程组：$\begin{cases}a + b = 7 \\ a - b = -1 \end{cases}$，
两式相加得：$2a = 6$，解得$a = 3$，
将$a = 3$代入$a + b =7$，得$b = 4$；
因此$ab^2 = 3×4^2 = 3×16 = 48$。
【答案】48
【知识点】同底数幂的乘法，二元一次方程组的解法，代数式求值
【点评】本题考查同底数幂乘法法则的应用，通过法则建立方程组求解未知数，再代入代数式计算，属于基础题型，关键是准确运用同底数幂相乘的指数运算规则，解方程组时需保证计算准确。
【难度系数】0.7
