一、选择题
1 [2025 通州模拟]下列计算正确的是（）

A.$x^{2}· x^{5}=x^{10}$
B.$x^{6}÷ x^{2}=x^{4}$
C.$(2x^{2})^{3}=6x^{6}$
D.$7x-5x=2$

1.B

【分析】
本题考查整式的运算，需逐一依据相关运算法则判断每个选项的计算是否正确：回忆同底数幂的乘法（底数不变，指数相加）、同底数幂的除法（底数不变，指数相减）、积的乘方（各因式分别乘方再相乘）、合并同类项（系数相加减，字母及指数不变）的法则，逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，$x^2·x^5 = x^{2+5}=x^7≠x^{10}$，计算错误；
选项B：根据同底数幂的除法法则，$x^6÷x^2 = x^{6-2}=x^4$，计算正确；
选项C：根据积的乘方法则，$(2x^2)^3=2^3·(x^2)^3=8x^6≠6x^6$，计算错误；
选项D：合并同类项时，$7x-5x=(7-5)x=2x≠2$，计算错误；
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
同底数幂的乘除、积的乘方、合并同类项
【点评】
本题为整式运算的基础题型，主要考查幂的运算法则和合并同类项规则，需熟练掌握各运算法则，避免指数运算、系数计算的常见错误，属于中考高频基础题。
【难度系数】
0.8

2 [2026 崇川段测改编]若$ab^{2}=-1$,则$ab(ab^{3}-b)$的值为（）

A.0
B.1
C.2
D.$-2$

2.C

【分析】
要计算代数式$ab(ab^3 - b)$的值，首先对该代数式进行展开化简，将其转化为含有已知条件$ab^2$的形式，再利用整体代入法，把$ab^2=-1$代入化简后的式子计算即可。
【解析】
解：先展开所求代数式：
$ab(ab^3 - b) = ab · ab^3 - ab · b = a^2b^4 - ab^2$
将$a^2b^4$变形为$(ab^2)^2$，则原式可改写为：
$(ab^2)^2 - ab^2$
已知$ab^2=-1$，代入上式：
原式$= (-1)^2 - (-1) = 1 + 1 = 2$
【答案】
C
【知识点】
整式的乘法、整体代入法
【点评】
本题通过展开代数式并利用幂的变形，将所求式子转化为已知条件的形式，运用整体代入法简化计算，避免单独求解$a$、$b$的值，是代数式求值的常用技巧。
【难度系数】
0.3

3 已知 $x^{a}=3,x^{b}=4$,则 $x^{3a+2b}$ 的值为（）

A.$\dfrac{27}{16}$
B.$\dfrac{27}{8}$
C.$432$
D.$216$

3.C

【分析】
要计算$x^{3a+2b}$的值，需利用幂的运算性质对所求式子变形：先根据同底数幂乘法法则拆分指数，再通过幂的乘方逆用转化为已知$x^a$、$x^b$的形式，最后代入数值计算。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$x^{m+n}=x^m · x^n$，可得：
$x^{3a+2b}=x^{3a} · x^{2b}$
再根据幂的乘方逆用公式：$x^{mn}=(x^m)^n$，对上述式子变形：
$x^{3a}=(x^a)^3$，$x^{2b}=(x^b)^2$
代入已知$x^a=3$，$x^b=4$：
$(x^a)^3=3^3=27$，$(x^b)^2=4^2=16$
因此$x^{3a+2b}=27 × 16=432$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法、幂的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的基础应用，核心是对幂的乘方与同底数幂乘法法则的逆用，属于基础题型，熟练掌握运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.8

4 [2026 南通期中]若$(x^{2}-2x)(x^{2}+ax)$的展开式中不含$x^{3}$项,则$a$的值为（）

A.$-2$
B.$2$
C.$-1$
D.$1$

4.B

【分析】要解决本题，需先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后找到含$x^3$项的系数；由于展开式不含$x^3$项，因此该项系数为0，据此即可求出$a$的值。
【解析】根据多项式乘多项式法则展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2 - 2x)(x^2 + ax)&=x^2· x^2 + x^2· ax - 2x· x^2 - 2x· ax\\&=x^4 + ax^3 - 2x^3 - 2ax^2\\&=x^4 + (a - 2)x^3 - 2ax^2\end{aligned}$
因为展开式中不含$x^3$项，所以$x^3$项的系数为0，即$a - 2 = 0$，解得$a = 2$。
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式、同类项合并
【点评】本题考查多项式乘法的基础运算，核心是准确展开并合并同类项，利用“不含某一项则该项系数为0”的条件求解参数，属于常规基础题。
【难度系数】0.6

5 下列四个整式,不能表示如图所示的涂色部分面积的是 （）

A.$(x+6)(x+4)-6x$
B.$x(x+4)+24$
C.$4(x+6)+x^{2}$
D.$x^{2}+24$

5.D

【分析】
要判断哪个整式不能表示涂色部分面积，需先计算涂色部分的面积，再逐一对比各选项。可通过“大长方形面积减去空白部分面积”或“拆分涂色部分求和”的方式计算面积，再与选项匹配。
【解析】
1. 计算涂色部分面积：
方法一：大长方形的长为$x+6$，宽为$x+4$，面积为$(x+6)(x+4)$；空白小长方形的长为6，宽为$x$，面积为$6x$，因此涂色面积为：
$ (x+6)(x+4)-6x = x^2 + 4x + 6x + 24 -6x = x^2 +4x +24 $
对应选项A，符合。
方法二：将涂色部分拆分为左侧长为$x$、高为$x+4$的长方形，和右侧长为6、高为4的长方形，面积和为：
$ x(x+4) + 6×4 = x^2 +4x +24 $
对应选项B，符合；也可拆分为左侧边长为$x$的正方形，和右侧长为$x+6$、高为4的长方形，面积和为：
$ x^2 +4(x+6) = x^2 +4x +24 $
对应选项C，符合。
选项D为$x^2+24$，与计算出的涂色面积$x^2+4x+24$不一致，因此不能表示涂色部分面积。
【答案】
D
【知识点】
整式的加减、长方形面积计算
【点评】
本题结合图形面积考查整式化简，核心是通过不同方式计算涂色部分面积，再对比选项，属于基础题型，需注意拆分图形时的边长对应关系。
【难度系数】
0.3

6 若$(x^{2}-px+q)(x-3)$展开后不含$x$的一次项，则$p$与$q$的关系是（）

A.$p=3q$
B.$3q+p=0$
C.$3p+q=0$
D.$q=3p$

6.C

【分析】要解决这个问题，首先利用多项式乘多项式的运算法则展开式子，再合并同类项；由于展开后不含x的一次项，说明x的一次项系数为0，据此推导p与q的关系。
【解析】先展开并合并同类项：
$\begin{aligned}(x^2 - px + q)(x - 3)&=x^3 - 3x^2 - px^2 + 3px + qx - 3q\\&=x^3 + (-3 - p)x^2 + (3p + q)x - 3q\end{aligned}$
因为展开后不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，即$3p + q = 0$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式，同类项合并，整式系数性质
【点评】本题是整式乘法的基础题，核心是掌握多项式展开方法，理解“不含某一项则该项系数为0”的规则，解题思路明确，难度较低。
【难度系数】0.4

二、填空题
7 当$(2x-5)^{0}$有意义时，$x$的取值范围是.

7.$x≠\dfrac{5}{2}$

【分析】要使零指数幂有意义，需满足其底数不为0，因此先确定该式的底数为$2x - 5$，令底数不等于0，解对应的不等式即可得到$x$的取值范围。
【解析】根据零指数幂的定义：只有当底数不为0时，零指数幂才有意义，即$a^0$中$a≠0$。对于$(2x - 5)^0$，需满足$2x - 5 ≠ 0$，解这个不等式得：$2x ≠ 5$，即$x ≠ \frac{5}{2}$。
【答案】$x≠\dfrac{5}{2}$
【知识点】零指数幂的定义；一元一次不等式的求解
【点评】本题考查零指数幂有意义的条件，属于基础题型，核心是牢记零指数幂底数不能为0的规则，难度较低。
【难度系数】0.8

8 计算：$(-5a^{4})· (-6ab^{3})=$.

8.$30a^{5}b^{3}$

【分析】
本题考查单项式与单项式的乘法运算，解题思路为：先计算两个单项式的系数乘积，注意负号的运算规则（负负得正）；再依据同底数幂的乘法法则，分别计算相同字母的指数（底数不变，指数相加），最后将系数与各字母的幂组合得到结果。
【解析】
根据单项式乘单项式的运算法则：
1. 计算系数：$(-5)×(-6)=30$；
2. 计算同底数幂$a$的部分：$a^4·a = a^{4+1}=a^5$；
3. 计算同底数幂$b$的部分：$b^3$（仅一个单项式含$b$，直接保留）；
将上述结果组合，得：$(-5a^{4})· (-6ab^{3})=30a^5b^3$。
【答案】
$30a^{5}b^{3}$
【知识点】
单项式乘单项式、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘单项式的运算法则，运算中需注意符号处理和同底数幂指数的运算规则，属于学生应熟练掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8

9 一个长方体的长、宽、高分别是$3x-4$，$2x$和$x$，则它的表面积是。

9.$22x^{2}-24x$

【分析】
要计算长方体的表面积，首先需牢记长方体表面积公式：表面积=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)。接下来将题目给出的长(3x-4)、宽(2x)、高(x)代入公式，再通过整式的乘法、加减运算化简，即可得到结果。
【解析】
长方体表面积公式为：$ S = 2(ab + bc + ac) $（$ a、b、c $分别为长、宽、高）。
将长$ a=3x-4 $，宽$ b=2x $，高$ c=x $代入公式：
$\begin{aligned}S&=2[(3x-4)·2x + (3x-4)· x + 2x· x]\\&=2[(6x^2 -8x)+(3x^2 -4x)+2x^2]\\&=2[(6x^2+3x^2+2x^2)+(-8x-4x)]\\&=2(11x^2 -12x)\\&=22x^2 -24x\end{aligned}$
【答案】
$ 22x^2 -24x $
【知识点】
长方体表面积计算、整式的混合运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查长方体表面积公式的应用及整式的运算，只要熟练掌握公式、正确展开计算，即可轻松得出结果，适合巩固基础知识点。
【难度系数】
0.6

10 若$a^{2}+a+1=2$，则$(1-2a)(2a+3)$的值为.

10.$-1$

【分析】
本题是代数式求值问题，解题思路是：先根据已知等式求出$a^2 + a$的值，再将所求多项式展开，通过变形转化为含有$a^2 + a$的形式，最后利用整体代入法计算结果，无需单独求解$a$的具体值，简化运算过程。
【解析】
1. 由已知条件求$a^2 + a$的值：
已知$a^2 + a + 1 = 2$，移项得：$a^2 + a = 2 - 1 = 1$。
2. 展开所求代数式：
对$(1 - 2a)(2a + 3)$进行多项式乘法运算：
$\begin{aligned}(1 - 2a)(2a + 3)&=1×2a + 1×3 - 2a×2a - 2a×3\\&=2a + 3 - 4a^2 - 6a\\&=-4a^2 - 4a + 3\end{aligned}$
3. 整体代入求值：
将$-4a^2 - 4a + 3$变形为$-4(a^2 + a) + 3$，把$a^2 + a = 1$代入得：
$-4×1 + 3 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
代数式求值、多项式乘多项式、整体代入法
【点评】
本题考查代数式求值，核心是运用整体代入思想，避免求解$a$的复杂值，简化计算，是代数式运算中常用的解题技巧，难度适中。
【难度系数】
0.6

11 小明家的住房装修三年后,地砖出现破损,破损部分的图形如图所示. 现有 A,B,C 三种地砖可供选择,则需要 A 砖块,B 砖块,C 砖块.

11.0 8 2

【分析】要确定三种地砖的数量，需先计算破损部分的总面积，再分别求出三种地砖的面积，将破损总面积分解为三种地砖面积的和，对应得到各砖数量。首先利用长方形面积公式算出破损部分面积，再结合三种地砖的面积表达式，通过整式展开后的项对应地砖类型，确定数量。
【解析】1. 计算破损部分面积：破损部分是长为$4a+b$、宽为$2b$的长方形，根据长方形面积公式，总面积为$(4a+b) × 2b = 8ab + 2b^2$。
2. 计算三种地砖的面积：A砖是边长为$a$的正方形，面积为$a^2$；B砖是长为$b$、宽为$a$的长方形，面积为$ab$；C砖是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$。
3. 对应数量：破损总面积$8ab + 2b^2$中，不含$a^2$项，故A砖数量为0；$8ab$对应B砖的面积，故B砖数量为8；$2b^2$对应C砖的面积，故C砖数量为2。
【答案】0 8 2
【知识点】整式乘法、长方形面积计算、面积分解
【点评】本题结合几何图形面积与整式运算，考查学生对整式展开和实际应用的掌握，属于基础题型，需理清面积与整式项的对应关系。
【难度系数】0.3

三、解答题
12 计算：
(1) $-3m^{2}n· (-2mn^{2})^{2}$；
(2) $-2a^{2}(\dfrac{1}{2}ab+b^{2})-5a(a^{2}b-ab^{2})$；
(3) $(x+3)(x^{2}-3x-5)$；
(4) $(36x^{4}y^{3}-24x^{3}y^{2}+3x^{2}y^{2})÷(-6x^{2}y^{2})$。

12.(1) $-12m^{4}n^{5}$
(2) $-6a^{3}b+3a^{2}b^{2}$
(3) $x^{3}-14x-15$
(4) $-6x^{2}y+4x-\dfrac{1}{2}$

【分析】本题为整式的乘除运算题，需依次运用幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、多项式除以单项式及合并同类项法则求解。解题时需注意运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有同类项的要合并，同时关注符号和指数的运算规则。
【解析】
(1) 先计算积的乘方：$(-2mn^2)^2 = (-2)^2 m^2 (n^2)^2 = 4m^2n^4$，再计算单项式乘单项式：$-3m^2n · 4m^2n^4 = (-3 × 4) m^{2+2} n^{1+4} = -12m^4n^5$；
(2) 先利用单项式乘多项式法则展开：
$-2a^2 · \frac{1}{2}ab = -a^3b$，$-2a^2 · b^2 = -2a^2b^2$，
$-5a · a^2b = -5a^3b$，$-5a · (-ab^2) = 5a^2b^2$，
再合并同类项：$(-a^3b -5a^3b) + (-2a^2b^2 +5a^2b^2) = -6a^3b + 3a^2b^2$；
(3) 利用多项式乘多项式法则，用第一个多项式的每一项乘第二个多项式的每一项：
$x · x^2 = x^3$，$x · (-3x) = -3x^2$，$x · (-5) = -5x$，
$3 · x^2 = 3x^2$，$3 · (-3x) = -9x$，$3 · (-5) = -15$，
合并同类项：$x^3 + (-3x^2 +3x^2) + (-5x -9x) -15 = x^3 -14x -15$；
(4) 利用多项式除以单项式法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$36x^4y^3 ÷ (-6x^2y^2) = -6x^2y$，
$-24x^3y^2 ÷ (-6x^2y^2) = 4x$，
$3x^2y^2 ÷ (-6x^2y^2) = -\frac{1}{2}$，
相加得：$-6x^2y +4x - \frac{1}{2}$；
【答案】12.(1) $-12m^{4}n^{5}$；(2) $-6a^{3}b+3a^{2}b^{2}$；(3) $x^{3}-14x-15$；(4) $-6x^{2}y+4x-\dfrac{1}{2}$
【知识点】整式的乘除运算、幂的乘方与积的乘方、合并同类项
【点评】本题考查整式的基础运算，涵盖幂的运算、单项式与多项式的乘除、合并同类项等核心知识点，是初中代数的重点内容，需熟练掌握运算法则，注意符号和指数的运算细节，避免计算错误。
【难度系数】0.3