14. (★★)如图,$AC⊥ CF$于点C,$DF⊥ CF$
于点F,AB与DE交于点O,且$EC=BF$,$AB=DE$。
求证:$AE=DB$。

$\because EC=BF$,
$\therefore EC+EB=BF+EB$,
即$CB=FE$。
$\because AC⊥ CF$,$DF⊥ CF$,
$\therefore ∠ C=∠ F=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$和$\mathrm{Rt}△ DFE$中,
$\begin{cases} CB=FE, \\ AB=DE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB≌\mathrm{Rt}△ DFE(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ ABE=∠ DEF$。
在$△ AEB$和$△ DBE$中,
$\begin{cases} AB=DE, \\ ∠ ABE=∠ DEF, \\ BE=EB, \end{cases}$
$\therefore △ AEB≌△ DBE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AE=DB$。

15. (★★)在$△ ABC$中,$AB=AC$,DE是过
点A的直线,$BD⊥ DE$于点D,$CE⊥ DE$于点E。
(1)若B,C在DE的同侧,如图①,且
$AD=CE$,求证:$AB⊥ AC$。
(2)若B,C在DE的两侧,如图②,且
$AD=CE$,其他条件不变,AB与AC仍垂直吗?
若是,请给出证明;若不是,请说明理由。

(1)$\because BD⊥ DE$,$CE⊥ DE$,
$\therefore ∠ ADB=∠ AEC=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$和$\mathrm{Rt}△ CAE$中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ AD=CE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE(\mathrm{HL})$。
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA$,$∠ DBA=∠ EAC$。
$\because ∠ DAB+∠ DBA=90°$,$∠ EAC+∠ ACE=90°$,
$\therefore ∠ BAD+∠ CAE=90°$。
$\therefore ∠ BAC=180°-(∠ BAD+∠ CAE)=90°$。
$\therefore AB⊥ AC$。
(2)$AB⊥ AC$。证明如下:
同(1)可证得$\mathrm{Rt}△ ABD≌\mathrm{Rt}△ CAE$。
$\therefore ∠ DAB=∠ ECA$,$∠ DBA=∠ EAC$。
$\because ∠ CAE+∠ ECA=90°$,
$\therefore ∠ CAE+∠ BAD=90°$,即$∠ BAC=90°$。
$\therefore AB⊥ AC$。