14.(★★★)在探索平面图形的性质时,往往需通过剪拼的方式帮助我们寻找解题思路。
【知识回顾】
例如,在证明三角形的中位线定理时,就采用了如图①的剪拼方式,将三角形转化为平行四边形使问题得以解决。
【实践操作】
如图②,在梯形ABCD中,$AD// BC$,F是腰DC的中点,请你沿着AF将梯形剪开,重新拼成一个完整的三角形,并画出相应的图形。
【数学发现】
如图③,在梯形ABCD中,$AD// BC$,E,F分别是两腰$AB,DC$的中点,我们把EF叫作梯形ABCD的中位线。请类比三角形的中位线的性质,猜想EF和$AD,BC$有怎样的位置关系和数量关系,并尝试证明。

(第14题)

实践操作:如图:

数学发现:
猜想:$\boldsymbol{EF// AD// BC,EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)}$。
证明如下:如图,连接$\boldsymbol{AF}$并延长,交$\boldsymbol{BC}$的延长线于点$\boldsymbol{M}$。

$\boldsymbol{∵ AD// BC,∴ ∠M=∠DAF}$。
$\boldsymbol{∵ F}$是$\boldsymbol{DC}$的中点,$\boldsymbol{∴ DF=CF}$。
$\boldsymbol{∵ ∠AFD=∠MFC,∴ △ ADF≌ △ MCF(AAS)}$。
$\boldsymbol{∴ AD=MC,AF=MF}$。$\boldsymbol{∴ F}$是$\boldsymbol{AM}$的中点。
$\boldsymbol{∵ E}$是$\boldsymbol{AB}$的中点,$\boldsymbol{∴ EF}$是$\boldsymbol{△ ABM}$的中位线。
$\boldsymbol{∴ EF// BM,EF=\dfrac{1}{2}BM}$。
$\boldsymbol{∴ EF=\dfrac{1}{2}(MC+BC)=\dfrac{1}{2}(AD+BC)}$。
$\boldsymbol{∵ AD// BC,EF// BC,∴ EF// AD}$。
$\boldsymbol{∴ EF// AD// BC,EF=\dfrac{1}{2}(AD+BC)}$。