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11 如图,有一圆锥形粮堆,其经过轴的截面是边长为6的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食.此时小猫正在点B处,它要沿圆锥侧面到达点P处捕捉老鼠,求小猫所经过的最短路程.
答案
11. 设圆锥底面圆的半径为$r$,母线长为$l$,侧面展开后圆心角的度数为$n°$,则底面圆的周长为$2π r$,侧面展开图的弧长为$\dfrac{nπ l}{180}.$
$\therefore 2π r=\dfrac{nπ l}{180}.$ 如图①,$\because$ 轴截面$△ ABC$为等边三角形,
$\therefore AB=BC$,即$l=2r=6. \therefore r=3. \therefore 2π×3=\dfrac{nπ×6}{180}. \therefore n=180$,即其侧面展开图为如图②所示的半圆,则$△ ABP$为直角三角形,$BP$为最短路线. 在$\mathrm{Rt}△ ABP$中,$BP=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}.$
$\therefore$ 小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}$
(第11题)
解析
【分析】
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，需将圆锥的曲面侧面展开为平面图形，利用“平面内两点之间线段最短”的原理转化求解。具体思路：先根据轴截面的正三角形确定圆锥的母线长和底面半径，再通过圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，计算侧面展开图的圆心角，最后在展开图中构造直角三角形，用勾股定理计算两点间的线段长度，即最短路程。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开后圆心角的度数为$n°$。
1. 由轴截面$△ ABC$是边长为6的正三角形，得母线长$l=AB=AC=6$，底面直径$BC=6$，因此底面半径$r=3$。
2. 圆锥底面周长为$2π r=2π×3=6π$，侧面展开图的弧长公式为$\frac{nπ l}{180}$，根据弧长等于底面周长，列方程：
$6π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=180$，即侧面展开图为半圆。
3. 在展开图中，$AB=6$，$P$是$AC$中点，故$AP=\frac{1}{2}AC=3$，且$∠ BAP=90°$（展开图圆心角为180°，$AB$与$AC$在展开图中夹角为90°），$△ ABP$为直角三角形，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2 + AP^2}=\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}$
(第11题)
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面最短路径的求解，核心是将立体曲面问题转化为平面问题，需掌握圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的关系，结合勾股定理计算，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决圆锥侧面上的最短路径问题，需将圆锥的曲面侧面展开为平面图形，利用“平面内两点之间线段最短”的原理转化求解。具体思路：先根据轴截面的正三角形确定圆锥的母线长和底面半径，再通过圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长，计算侧面展开图的圆心角，最后在展开图中构造直角三角形，用勾股定理计算两点间的线段长度，即最短路程。
【解析】
设圆锥底面圆的半径为$r$，母线长为$l$，侧面展开后圆心角的度数为$n°$。
1. 由轴截面$△ ABC$是边长为6的正三角形，得母线长$l=AB=AC=6$，底面直径$BC=6$，因此底面半径$r=3$。
2. 圆锥底面周长为$2π r=2π×3=6π$，侧面展开图的弧长公式为$\frac{nπ l}{180}$，根据弧长等于底面周长，列方程：
$6π=\frac{nπ×6}{180}$，解得$n=180$，即侧面展开图为半圆。
3. 在展开图中，$AB=6$，$P$是$AC$中点，故$AP=\frac{1}{2}AC=3$，且$∠ BAP=90°$（展开图圆心角为180°，$AB$与$AC$在展开图中夹角为90°），$△ ABP$为直角三角形，由勾股定理得：
$BP=\sqrt{AB^2 + AP^2}=\sqrt{6^2 + 3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$。
【答案】
小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}$
(第11题)
【知识点】
圆锥侧面展开图、弧长公式、勾股定理
【点评】
本题考查圆锥侧面最短路径的求解，核心是将立体曲面问题转化为平面问题，需掌握圆锥侧面展开图的弧长与底面周长的关系，结合勾股定理计算，是中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
12 如图,$\odot O$ 的半径为 5,弦 AB,CD 互相垂直,垂足为 E,点 F 在 ED 上,且 $EF=EC=\sqrt{3}EB$,连接 $AF,BD,∠ BDC=16°$.求:
(1) $∠ A$ 的度数;
(2) $\overset{\frown}{AC}$ 的长.
(1) $∠ A$ 的度数;
(2) $\overset{\frown}{AC}$ 的长.
答案
12. (1) 如图,连接$AC. \because ∠ BAC$和$∠ BDC$都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角,$\therefore ∠ BAC=∠ BDC=16°. \because AB⊥ CD,CE=EF,$
$\therefore AC=AF. \therefore ∠ BAF=∠ BAC=16°$ (2) 如图,连接$BC$,$OA$,$OC. \because AB⊥ CD,EC=\sqrt{3} EB,\therefore$ 易得$∠ ABC=60°.$
$\therefore ∠ AOC=120°. \therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\dfrac{120π×5}{180}=\dfrac{10}{3}π$
(第12题)
解析
【分析】
1. 第(1)问：先利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC与∠BDC的关系；再结合AB⊥CD、EC=EF，推出AC=AF，进而得到∠BAF=∠BAC，即可求出∠A的度数。
2. 第(2)问：在Rt△BEC中，利用EC=√3 EB结合三角函数求出∠ABC；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到弧AC对应的圆心角∠AOC；最后代入弧长公式计算弧AC的长度。
【解析】
(1) 连接AC。
∵ ∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC = 16°。
∵ AB⊥CD，EC = EF，
∴ AB是线段CF的垂直平分线，
∴ AC = AF，
∴ ∠BAF = ∠BAC = 16°，即∠A的度数为16°。
(2) 连接BC，OA，OC。
∵ AB⊥CD，
∴ △BEC是直角三角形，
在Rt△BEC中，$\tan∠ABC = \frac{EC}{EB} = \sqrt{3}$，
∴ ∠ABC = 60°。
∵ ∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ ∠AOC = 2∠ABC = 120°。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{120π × 5}{180} = \frac{10}{3}π$。
【答案】
(1) $16°$；(2) $\dfrac{10}{3}π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的性质、垂直平分线性质、三角函数及弧长公式，解题需熟练运用圆周角定理，结合几何关系推导角度，再代入公式计算，知识点覆盖全面，难度适中。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：先利用圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BAC与∠BDC的关系；再结合AB⊥CD、EC=EF，推出AC=AF，进而得到∠BAF=∠BAC，即可求出∠A的度数。
2. 第(2)问：在Rt△BEC中，利用EC=√3 EB结合三角函数求出∠ABC；再根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，得到弧AC对应的圆心角∠AOC；最后代入弧长公式计算弧AC的长度。
【解析】
(1) 连接AC。
∵ ∠BAC和∠BDC都是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠BDC = 16°。
∵ AB⊥CD，EC = EF，
∴ AB是线段CF的垂直平分线，
∴ AC = AF，
∴ ∠BAF = ∠BAC = 16°，即∠A的度数为16°。
(2) 连接BC，OA，OC。
∵ AB⊥CD，
∴ △BEC是直角三角形，
在Rt△BEC中，$\tan∠ABC = \frac{EC}{EB} = \sqrt{3}$，
∴ ∠ABC = 60°。
∵ ∠ABC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，∠AOC是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆心角，
∴ ∠AOC = 2∠ABC = 120°。
根据弧长公式，$\overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{120π × 5}{180} = \frac{10}{3}π$。
【答案】
(1) $16°$；(2) $\dfrac{10}{3}π$
【知识点】
圆周角定理，弧长计算，等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的性质、垂直平分线性质、三角函数及弧长公式，解题需熟练运用圆周角定理，结合几何关系推导角度，再代入公式计算，知识点覆盖全面，难度适中。
【难度系数】
0.5
13 如图,圆内接四边形$ABCD$的对角线$AC$,$BD$交于点$E$,$BD$平分$∠ ABC$,$∠ BAC=∠ ADB$.
(1) 求证:$DB$平分$∠ ADC$,并求$∠ BAD$的度数;
(2) 过点$C$作$CF// AD$,交$AB$的延长线于点$F$,若$AC=AD$,$BF=2$,求此圆的半径.
(1) 求证:$DB$平分$∠ ADC$,并求$∠ BAD$的度数;
(2) 过点$C$作$CF// AD$,交$AB$的延长线于点$F$,若$AC=AD$,$BF=2$,求此圆的半径.
答案
13. (1) $\because ∠ BAC=∠ ADB,∠ BAC=∠ CDB,\therefore ∠ ADB=∠ CDB. \therefore DB$平分$∠ ADC. \because BD$平分$∠ ABC,\therefore ∠ ABD=∠ CBD. \because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ABC+∠ ADC=180°. \therefore ∠ ABD+∠ CBD+∠ ADB+∠ CDB=180°.$
$\therefore 2(∠ ABD+∠ ADB)=180°. \therefore ∠ ABD+∠ ADB=90°.$
$\therefore ∠ BAD=180°-90°=90°$ (2) $\because ∠ BAE+∠ DAE=90°,$
$∠ BAE=∠ ADE,\therefore ∠ ADE+∠ DAE=90°. \therefore ∠ AED=90°.$
$\because ∠ BAD=90°,\therefore BD$是圆的直径. $\therefore BD$垂直平分$AC.$
$\therefore AD=CD. \because AC=AD,\therefore AC=AD=CD. \therefore △ ACD$是等边三角形. $\therefore ∠ ADC=60°. \because BD⊥ AC,\therefore ∠ BDC=\dfrac{1}{2}∠ ADC=30°. \because CF// AD,\therefore ∠ F+∠ BAD=180°.$
$\therefore ∠ F=90°. \because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°. \because ∠ FBC+∠ ABC=180°,\therefore ∠ FBC=∠ ADC=60°. \therefore ∠ FCB=30°. \therefore BC=2BF=4. \because BD$是圆的直径,$\therefore ∠ BCD=90°. \because ∠ BDC=30°,\therefore BD=2BC=8. \therefore$ 此圆的半径是4
$\therefore 2(∠ ABD+∠ ADB)=180°. \therefore ∠ ABD+∠ ADB=90°.$
$\therefore ∠ BAD=180°-90°=90°$ (2) $\because ∠ BAE+∠ DAE=90°,$
$∠ BAE=∠ ADE,\therefore ∠ ADE+∠ DAE=90°. \therefore ∠ AED=90°.$
$\because ∠ BAD=90°,\therefore BD$是圆的直径. $\therefore BD$垂直平分$AC.$
$\therefore AD=CD. \because AC=AD,\therefore AC=AD=CD. \therefore △ ACD$是等边三角形. $\therefore ∠ ADC=60°. \because BD⊥ AC,\therefore ∠ BDC=\dfrac{1}{2}∠ ADC=30°. \because CF// AD,\therefore ∠ F+∠ BAD=180°.$
$\therefore ∠ F=90°. \because$ 四边形$ABCD$是圆内接四边形,$\therefore ∠ ADC+∠ ABC=180°. \because ∠ FBC+∠ ABC=180°,\therefore ∠ FBC=∠ ADC=60°. \therefore ∠ FCB=30°. \therefore BC=2BF=4. \because BD$是圆的直径,$\therefore ∠ BCD=90°. \because ∠ BDC=30°,\therefore BD=2BC=8. \therefore$ 此圆的半径是4
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用圆周角定理、角平分线定义及圆内接四边形性质求解：首先根据同弧所对圆周角相等，将已知的∠BAC=∠ADB转化为∠ADB=∠CDB，证明DB平分∠ADC；再结合BD平分∠ABC，利用圆内接四边形对角互补，推导出△ABD中两个角的和为90°，从而得到∠BAD=90°。第(2)问需结合直径的判定、等边三角形性质、平行线性质及直角三角形性质求解：由∠BAD=90°得BD为直径，结合AC=AD及BD垂直平分AC，证明△ACD为等边三角形，再利用平行线性质得到∠F=90°，通过角的关系推出△FBC为含30°角的直角三角形，求出BC，最后在Rt△BCD中利用30°角的性质求出BD，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC与∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠CDB。
又已知∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠CDB，即DB平分∠ADC。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
又∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 2∠ABD，∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 2∠ADB，
∴ 2∠ABD + 2∠ADB = 180°，即∠ABD + ∠ADB = 90°。
在△ABD中，∠BAD = 180° - (∠ABD + ∠ADB) = 180° - 90° = 90°。
(2) 解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠BAE + ∠DAE = ∠BAD = 90°，且∠BAE = ∠ADE（同弧所对圆周角相等），
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，即∠AED = 90°，故BD⊥AC，且BD垂直平分AC。
∴ AD = CD，又已知AC = AD，
∴ AC = AD = CD，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，则∠BDC = ½∠ADC = 30°。
∵ CF//AD，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∠BAD = 90°，
∴ ∠F = 90°。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又∠FBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠FBC = ∠ADC = 60°。
在Rt△FBC中，∠F = 90°，∠FCB = 90° - ∠FBC = 30°，
∴ BC = 2BF = 2×2 = 4。
∵ BD是圆的直径，
∴ ∠BCD = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△BCD中，∠BCD = 90°，∠BDC = 30°，
∴ BD = 2BC = 2×4 = 8，
∴ 此圆的半径为½BD = 4。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，∠BAD=90°；(2) 圆的半径为4
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合题，融合了角平分线、平行线、等边三角形等知识点，需逐步推导各角的关系，逻辑要求较高，能有效考查学生对圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.4
本题分为两小问，第(1)问需利用圆周角定理、角平分线定义及圆内接四边形性质求解：首先根据同弧所对圆周角相等，将已知的∠BAC=∠ADB转化为∠ADB=∠CDB，证明DB平分∠ADC；再结合BD平分∠ABC，利用圆内接四边形对角互补，推导出△ABD中两个角的和为90°，从而得到∠BAD=90°。第(2)问需结合直径的判定、等边三角形性质、平行线性质及直角三角形性质求解：由∠BAD=90°得BD为直径，结合AC=AD及BD垂直平分AC，证明△ACD为等边三角形，再利用平行线性质得到∠F=90°，通过角的关系推出△FBC为含30°角的直角三角形，求出BC，最后在Rt△BCD中利用30°角的性质求出BD，进而得到半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠BAC与∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴ ∠BAC = ∠CDB。
又已知∠BAC = ∠ADB，
∴ ∠ADB = ∠CDB，即DB平分∠ADC。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ABC + ∠ADC = 180°。
又∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 2∠ABD，∠ADC = ∠ADB + ∠CDB = 2∠ADB，
∴ 2∠ABD + 2∠ADB = 180°，即∠ABD + ∠ADB = 90°。
在△ABD中，∠BAD = 180° - (∠ABD + ∠ADB) = 180° - 90° = 90°。
(2) 解：
∵ ∠BAD = 90°，
∴ BD是圆的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）。
∵ ∠BAE + ∠DAE = ∠BAD = 90°，且∠BAE = ∠ADE（同弧所对圆周角相等），
∴ ∠ADE + ∠DAE = 90°，即∠AED = 90°，故BD⊥AC，且BD垂直平分AC。
∴ AD = CD，又已知AC = AD，
∴ AC = AD = CD，即△ACD是等边三角形，
∴ ∠ADC = 60°，则∠BDC = ½∠ADC = 30°。
∵ CF//AD，
∴ ∠F + ∠BAD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∠BAD = 90°，
∴ ∠F = 90°。
∵ 四边形ABCD是圆内接四边形，
∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°，
又∠FBC + ∠ABC = 180°，
∴ ∠FBC = ∠ADC = 60°。
在Rt△FBC中，∠F = 90°，∠FCB = 90° - ∠FBC = 30°，
∴ BC = 2BF = 2×2 = 4。
∵ BD是圆的直径，
∴ ∠BCD = 90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△BCD中，∠BCD = 90°，∠BDC = 30°，
∴ BD = 2BC = 2×4 = 8，
∴ 此圆的半径为½BD = 4。
【答案】
(1) DB平分∠ADC，∠BAD=90°；(2) 圆的半径为4
【知识点】
圆周角定理、圆内接四边形性质、直角三角形性质
【点评】
本题是圆的综合题，融合了角平分线、平行线、等边三角形等知识点，需逐步推导各角的关系，逻辑要求较高，能有效考查学生对圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.4
