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2.一架天平，只有5克和30克两个砝码，要把300克盐分成3等份，最少称几次？写出称法。
答案
2. 最少称3次。第一次：砝码称盐，天平一边放5克和30克砝码，另一边称出35克盐。第二次：砝码加物体称物体，天平一边放30克砝码和35克盐，另一边称出65克盐。第三次：物体称物体，天平一边放已称出的100克盐，另一边称出100克盐，剩下100克盐。（温馨提示：在称量物体时，要联系生活实际，不要只想着用砝码称物体，还要想到砝码加物体再称物体，物体还可以称物体。）
解析
【分析】
要把300克盐分成3等份，每份重量为100克，我们只有5克和30克两个砝码，要想减少称重次数，不能仅局限于用砝码称重，还可以把已经称好的盐当作“临时砝码”使用。首先先用现有砝码称出少量盐，再用砝码加已经称出的盐凑出100克，最后用得到的100克盐当标准，直接称出另一份100克，剩余的就是第三份100克，就能完成三等分。
【解析】
我们可以分3次完成称重：
1. 第一次称重：天平一侧放5克和30克砝码，另一侧放盐，天平平衡后，得到35克盐。
2. 第二次称重：天平一侧放30克砝码+第一次称出的35克盐，总重量为65克，另一侧放盐，天平平衡后，得到65克盐。此时将两次得到的盐合并，35+65=100克，得到第一份100克的盐。
3. 第三次称重：天平一侧放已经得到的100克盐，另一侧放盐，天平平衡后，得到第二份100克盐，剩余的盐重量为300-100-100=100克，就是第三份盐。
【答案】
最少称3次。第一次：砝码称盐，天平一边放5克和30克砝码，另一边称出35克盐。第二次：砝码加物体称物体，天平一边放30克砝码和35克盐，另一边称出65克盐。第三次：物体称物体，天平一边放已称出的100克盐，另一边称出100克盐，剩下100克盐。
【知识点】
1. 天平称重原理
2. 最优策略问题
【点评】
本题属于统筹优化类的称重问题，解题核心是打破“只能用砝码称重”的思维定势，灵活将已称出的物体作为重量标准参与后续称重，可有效减少称重次数，能很好地锻炼逻辑思维和统筹规划能力。
【难度系数】
0.6
要把300克盐分成3等份，每份重量为100克，我们只有5克和30克两个砝码，要想减少称重次数，不能仅局限于用砝码称重，还可以把已经称好的盐当作“临时砝码”使用。首先先用现有砝码称出少量盐，再用砝码加已经称出的盐凑出100克，最后用得到的100克盐当标准，直接称出另一份100克，剩余的就是第三份100克，就能完成三等分。
【解析】
我们可以分3次完成称重：
1. 第一次称重：天平一侧放5克和30克砝码，另一侧放盐，天平平衡后，得到35克盐。
2. 第二次称重：天平一侧放30克砝码+第一次称出的35克盐，总重量为65克，另一侧放盐，天平平衡后，得到65克盐。此时将两次得到的盐合并，35+65=100克，得到第一份100克的盐。
3. 第三次称重：天平一侧放已经得到的100克盐，另一侧放盐，天平平衡后，得到第二份100克盐，剩余的盐重量为300-100-100=100克，就是第三份盐。
【答案】
最少称3次。第一次：砝码称盐，天平一边放5克和30克砝码，另一边称出35克盐。第二次：砝码加物体称物体，天平一边放30克砝码和35克盐，另一边称出65克盐。第三次：物体称物体，天平一边放已称出的100克盐，另一边称出100克盐，剩下100克盐。
【知识点】
1. 天平称重原理
2. 最优策略问题
【点评】
本题属于统筹优化类的称重问题，解题核心是打破“只能用砝码称重”的思维定势，灵活将已称出的物体作为重量标准参与后续称重，可有效减少称重次数，能很好地锻炼逻辑思维和统筹规划能力。
【难度系数】
0.6
三、找次品策略研究。
有5~11个零件，其中1个是次品，
（1）利用天平找次品的时候，最佳的策略是把待测物品分成（
（2）待测物品能平均分的，尽量（
（3）待测物品不能平均分的，尽量使多的1份和少的1份只相差（
（4）动手试一试，根据你的实验设计并填写实验表格。
有5~11个零件，其中1个是次品，
（1）利用天平找次品的时候，最佳的策略是把待测物品分成（
3
）份。（2）待测物品能平均分的，尽量（
平均分
）。（3）待测物品不能平均分的，尽量使多的1份和少的1份只相差（
1份
）。（4）动手试一试，根据你的实验设计并填写实验表格。
答案
（1）3
（2）平均分
（3）1份
（4）
|瓶数|分成几份|每份分别几个|称的次数|保证找到次品称的最少次数|
|----|----|----|----|----|
|5|3|2，2，1|2|2|
|6|3|2，2，2|2|2|
|7|3|2，2，3|2|2|
|8|3|2，3，3|2|2|
|9|3|3，3，3|2|2|
|10|3|3，3，4|3|3|
|11|3|3，4，4|3|3|
|最佳分法|3|最好是平均分或者使多的一份和少的一份的个数只相差1。| | |
（2）平均分
（3）1份
（4）
|瓶数|分成几份|每份分别几个|称的次数|保证找到次品称的最少次数|
|----|----|----|----|----|
|5|3|2，2，1|2|2|
|6|3|2，2，2|2|2|
|7|3|2，2，3|2|2|
|8|3|2，3，3|2|2|
|9|3|3，3，3|2|2|
|10|3|3，3，4|3|3|
|11|3|3，4，4|3|3|
|最佳分法|3|最好是平均分或者使多的一份和少的一份的个数只相差1。| | |
解析
【分析】
解决找次品问题的核心是用最少的称重次数保证找到次品，我们可以结合天平的特点思考最优策略：天平有左右两个托盘，每次称重时可以同时比较两份物品的重量，剩下没放上天平的是第三份，把物品分成3份时，每次称重能最大范围排除正品，缩小次品所在的范围。如果物品能平均分，每份数量相等，不管次品在哪一份，缩小后的范围都是最小的；如果不能平均分，要让最多的份和最少的份数量差尽可能小，这样最坏情况下次品所在的范围也不会太大。填表时按照这个分组原则，逐个分析不同数量零件的分组方式和最少称重次数即可。
【解析】
（1）天平称重时，两份放在托盘上，第三份放在一旁，每次称重可确定次品在3份中的某一份，每次能排除约2/3的正品，效率最高，所以最佳策略是分成3份。
（2）如果待测物品能平均分，平均分后每份数量相同，每次称重后次品范围缩小到原来的1/3，是最优的情况，所以尽量平均分。
（3）如果不能平均分，要让多的1份和少的1份只相差1份，这样不管次品在多的还是少的份里，后续需要排查的数量都是最小的，避免出现某份数量过大，增加称重次数。
（4）按照分3份、尽量平均的原则逐个分析：
①5个零件：分成2、2、1三份，第一次称2和2，若平衡则剩下的1个是次品，若不平衡则次品在较轻/较重的2个中，第二次称这2个即可找到，最坏情况需要2次，所以保证找到的最少次数是2。
②6个零件：平均分成2、2、2三份，第一次称任意两份2个，平衡则次品在第三份，不平衡则在较轻的那份，第二次称该份的2个即可找到，最少保证次数2次。
③7个零件：分成2、2、3三份，第一次称2和2，平衡则次品在3个的那份中（再称1次即可找到），不平衡则在2个的那份中（再称1次即可找到），最少保证次数2次。
④8个零件：分成3、3、2三份，第一次称3和3，平衡则次品在2个的那份（再称1次），不平衡则在3个的那份（再称1次），最少保证次数2次。
⑤9个零件：平均分成3、3、3三份，第一次称后次品缩小到3个中，再称1次即可找到，最少保证次数2次。
⑥10个零件：分成3、3、4三份，第一次称3和3，最坏情况次品在4个的那份中，4个需要再称2次才能保证找到，总共需要3次，所以最少保证次数3次。
⑦11个零件：分成3、4、4三份，第一次称4和4，最坏情况次品在4个的那份中，需要再称2次，总共3次，所以最少保证次数3次。
最后总结最佳分法就是分3份，尽量平均分，不能平均分的话多的和少的份差1。
【答案】
（1）3
（2）平均分
（3）1份
（4）
|瓶数|分成几份|每份分别几个|称的次数|保证找到次品称的最少次数|
|----|----|----|----|----|
|5|3|2，2，1|2|2|
|6|3|2，2，2|2|2|
|7|3|2，2，3|2|2|
|8|3|2，3，3|2|2|
|9|3|3，3，3|2|2|
|10|3|3，3，4|3|3|
|11|3|3，4，4|3|3|
|最佳分法|3|最好是平均分或者使多的一份和少的一份的个数只相差1。| | |
【知识点】
找次品最优策略，统筹优化思想，天平称重应用
【点评】
本题考查找次品的最优分组策略，通过理论分析和实际填表验证，能帮助理解分组原则，掌握快速确定最少称重次数的方法，是优化思想在生活实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.8
解决找次品问题的核心是用最少的称重次数保证找到次品，我们可以结合天平的特点思考最优策略：天平有左右两个托盘，每次称重时可以同时比较两份物品的重量，剩下没放上天平的是第三份，把物品分成3份时，每次称重能最大范围排除正品，缩小次品所在的范围。如果物品能平均分，每份数量相等，不管次品在哪一份，缩小后的范围都是最小的；如果不能平均分，要让最多的份和最少的份数量差尽可能小，这样最坏情况下次品所在的范围也不会太大。填表时按照这个分组原则，逐个分析不同数量零件的分组方式和最少称重次数即可。
【解析】
（1）天平称重时，两份放在托盘上，第三份放在一旁，每次称重可确定次品在3份中的某一份，每次能排除约2/3的正品，效率最高，所以最佳策略是分成3份。
（2）如果待测物品能平均分，平均分后每份数量相同，每次称重后次品范围缩小到原来的1/3，是最优的情况，所以尽量平均分。
（3）如果不能平均分，要让多的1份和少的1份只相差1份，这样不管次品在多的还是少的份里，后续需要排查的数量都是最小的，避免出现某份数量过大，增加称重次数。
（4）按照分3份、尽量平均的原则逐个分析：
①5个零件：分成2、2、1三份，第一次称2和2，若平衡则剩下的1个是次品，若不平衡则次品在较轻/较重的2个中，第二次称这2个即可找到，最坏情况需要2次，所以保证找到的最少次数是2。
②6个零件：平均分成2、2、2三份，第一次称任意两份2个，平衡则次品在第三份，不平衡则在较轻的那份，第二次称该份的2个即可找到，最少保证次数2次。
③7个零件：分成2、2、3三份，第一次称2和2，平衡则次品在3个的那份中（再称1次即可找到），不平衡则在2个的那份中（再称1次即可找到），最少保证次数2次。
④8个零件：分成3、3、2三份，第一次称3和3，平衡则次品在2个的那份（再称1次），不平衡则在3个的那份（再称1次），最少保证次数2次。
⑤9个零件：平均分成3、3、3三份，第一次称后次品缩小到3个中，再称1次即可找到，最少保证次数2次。
⑥10个零件：分成3、3、4三份，第一次称3和3，最坏情况次品在4个的那份中，4个需要再称2次才能保证找到，总共需要3次，所以最少保证次数3次。
⑦11个零件：分成3、4、4三份，第一次称4和4，最坏情况次品在4个的那份中，需要再称2次，总共3次，所以最少保证次数3次。
最后总结最佳分法就是分3份，尽量平均分，不能平均分的话多的和少的份差1。
【答案】
（1）3
（2）平均分
（3）1份
（4）
|瓶数|分成几份|每份分别几个|称的次数|保证找到次品称的最少次数|
|----|----|----|----|----|
|5|3|2，2，1|2|2|
|6|3|2，2，2|2|2|
|7|3|2，2，3|2|2|
|8|3|2，3，3|2|2|
|9|3|3，3，3|2|2|
|10|3|3，3，4|3|3|
|11|3|3，4，4|3|3|
|最佳分法|3|最好是平均分或者使多的一份和少的一份的个数只相差1。| | |
【知识点】
找次品最优策略，统筹优化思想，天平称重应用
【点评】
本题考查找次品的最优分组策略，通过理论分析和实际填表验证，能帮助理解分组原则，掌握快速确定最少称重次数的方法，是优化思想在生活实际问题中的典型应用。
【难度系数】
0.8
