9. 已知 a,b,c 为 $△ ABC$ 的三边，且满足 $a^{2}c^{2}-b^{2}c^{2}=a^{4}-b^{4}$，则 $△ ABC$ 为 三角形.

9.等腰或直角

10.(2024·宿豫区期中)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,且$AB=15$,$AD=12$,$CD=16$.
求证:$△ ABC$是直角三角形.

10. 证明:$\because AD⊥ BC,\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°.$
又$\because AB=15,AD=12,CD=16,$
$\therefore BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=81,AC^2=CD^2+AD^2=16^2+12^2=256+144=400,$
$\therefore BD=9,AC=20,\therefore BC=BD+CD=9+16=25.$
$\because AB^2+AC^2=15^2+20^2=625,BC^2=25^2=625,$
$\therefore BC^2=AB^2+AC^2,\therefore △ ABC$是直角三角形.

11.(2024·灌南县期中)【知识背景】我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论.像3，4，5这样能作为直角三角形三边长的3个正整数，称为勾股数.
请你观察下列三组勾股数：$(3,4,5)$；$(5,12,13)$；$(7,24,25)$；…；分析其中的规律，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过.当勾为3时，股$4=\dfrac{1}{2}×(9-1)$，弦$5=\dfrac{1}{2}×$$(9+1)$；当勾为5时，股$12=\dfrac{1}{2}×(25-1)$，弦$13=\dfrac{1}{2}×(25+1)$；当勾为7时，股$24=\dfrac{1}{2}×$$(49-1)$，弦$25=\dfrac{1}{2}×(49+1)$.
(1)若勾用$n$($n≥3$，且$n$为奇数)表示，请用含有$n$的式子表示股和弦，则股$=$，弦$=$，据此规律写出第四组勾股数是；
(2)若$a=m^2-1$，$b=2m$，$c=m^2+1$，其中$m＞1$且$m$是整数.求证：以$a$，$b$，$c$为边的$△ ABC$是直角三角形.

11.(1)$\dfrac{1}{2}(n^2-1)$ $\dfrac{1}{2}(n^2+1)$ $(9,40,41)$
(2)证明:$\because a=m^2-1,b=2m,c=m^2+1$,其中$m＞1$且$m$是整数,
$(m^2-1)^2+(2m)^2=m^4-2m^2+1+4m^2=m^4+2m^2+1=(m^2+1)^2,$
$\therefore a^2+b^2=c^2,\therefore$以$a,b,c$为边的$△ ABC$是直角三角形.