21. (8分)(2025·东营中考)如图,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的两点,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$,$DF ⊥ BC$于点F,延长FD交BA的延长线于点E,连接BD.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线;
(2)若$\odot O$的半径为1,求图中阴影部分的面积.

21. (1)如图,连接 OC,OD,
∵ AB 是⊙O 的直径,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$,
∴ ∠AOD=∠COD=∠BOC=60°,
∴ ∠ABD=∠CBD=30°.
∵ OB=OD,
∴ ∠ODB=∠ABD=30°.
∵ DF ⊥ BC,
∴ ∠F=90°,
∴ ∠BDF=90°-∠CBD=60°,
∴ ∠ODF=∠BDF+∠ODB=90°,
∴ OD ⊥ DF.又 OD 是⊙O 的半径,
∴ DF 是⊙O 的切线.
(2)
∵ OD ⊥ DF,
∴ ∠ODE=90°,
∴ ∠E=90°-∠AOD=30°,
∴ OE=2OD=2,
∴ DE=√(OE²-OD²)=√3,
∴ $S_{阴影}=S_{△ODE}-S_{扇形ODA} = \dfrac{1}{2} ×1×\sqrt{3} - \dfrac{60π×1^2}{360} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{π}{6}$.

【分析】
要证明DF是⊙O的切线，需依据切线判定定理，证明OD⊥DF，因此连接OC、OD，利用弧与圆心角的关系得到圆心角相等，结合等腰三角形性质推导角度关系，证得OD与DF垂直；求阴影面积时，观察阴影部分为△ODE减去扇形ODA的面积，需先计算△ODE和扇形ODA的面积，利用直角三角形性质和扇形面积公式求解。
【解析】
(1) 证明：连接OC、OD，
∵ AB是⊙O的直径，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ ∠AOD=∠COD=∠BOC=$\frac{180°}{3}=60°$，
∵ OB=OD，
∴ ∠ABD=∠ODB，
又
∵ ∠BOC是△OBD的外角，∠BOC=∠ABD+∠ODB=2∠ABD，
∴ ∠ABD=∠ODB=30°，
∵ DF⊥BC，
∴ ∠F=90°，
在Rt△BDF中，∠BDF=90°-∠CBD=90°-30°=60°，
∴ ∠ODF=∠BDF+∠ODB=60°+30°=90°，即OD⊥DF，
又
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DF是⊙O的切线。
(2) 解：
∵ OD⊥DF，
∴ ∠ODE=90°，
在Rt△ODE中，∠E=90°-∠AOD=90°-60°=30°，
∵ ⊙O半径为1，
∴ OD=1，
∴ OE=2OD=2，DE=$\sqrt{OE^2 - OD^2}=\sqrt{2^2 -1^2}=\sqrt{3}$，
∴ $S_{△ ODE}=\frac{1}{2}×OD×DE=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
扇形ODA的面积：$S_{扇形ODA}=\frac{60°}{360°}×π×1^2=\frac{π}{6}$，
∴ 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ ODE}-S_{扇形ODA}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{π}{6}$。
【答案】
(1) DF是⊙O的切线，证明成立；(2) 阴影部分面积为$\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{π}{6}$
【知识点】
切线的判定，扇形面积计算，直角三角形性质
【点评】
本题为圆的综合题，综合考查切线判定、弧与圆心角的关系、直角三角形性质及割补法求面积，解题关键是合理添加辅助线，利用角度关系推导垂直，结合图形拆分计算面积，是中考常见题型。
【难度系数】
0.5

22. (10 分)(2026·威海期中)在一次矿难事件的调查中发现:从零时起,井内空气中 CO 的浓度达到 4 mg/L,此后浓度呈直线型增加,在第 7 小时达到最高值 46 mg/L,发生爆炸;爆炸后,空气中的 CO 浓度呈反比例下降.如图所示,根据题中相关信息回答下列问题:
(1)求爆炸前后空气中 CO 浓度 y 与时间 x的函数表达式.
(2)当空气中的 CO 浓度达到 34 mg/L 时,井下 3 km 的矿工接到自动报警信号,这时他们至少要以多少千米/时的速度撤离才能在爆炸前逃生?
(3)矿工只有在空气中的 CO 浓度降到4 mg/L及以下时,才能回到矿井开展生产自救,矿工至少在爆炸后多少小时才能下井?

22. (1)
∵ 爆炸前浓度呈直线型增加,
∴ 可设 y 与 x 的函数表达式为 $y=k_1x+b$,由图象知 $y=k_1x+b$ 过点(0,4)与(7,46),则$\begin{cases}b=4,\\7k_1+b=46,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=6,\\b=4,\end{cases}$ 则 $y=6x+4$,
∵ 爆炸后浓度成反比例下降,
∴ 可设 y 与 x 的函数表达式为 $y=\dfrac{k_2}{x}$,由图象知 $y=\dfrac{k_2}{x}$ 过点(7,46),
∴ $\dfrac{k_2}{7}=46$,
∴ $k_2=322$,
∴ $y=\dfrac{322}{x}$.综上,当$0≤ x≤7$时,$y=6x+4$;当$x＞7$时,$y=\dfrac{322}{x}$.
(2)当 $y=34$ 时,由 $y=6x+4$,得 $6x+4=34,x=5$,
∴ 撤离的最长时间为$7-5=2$(小时),
∴ 撤离的最小速度为 $3÷2=1.5(\mathrm{km/h})$.
(3)当 $y=4$ 时,由 $y=\dfrac{322}{x}$,得 $x=80.5$,$80.5-7=73.5$(小时).
∴ 矿工至少在爆炸后73.5小时才能下井.

【分析】
本题需分步骤解决三个问题：首先根据图象信息，爆炸前CO浓度呈直线型（一次函数），爆炸后呈反比例型（反比例函数），用待定系数法分别求出两段的函数表达式；再利用函数表达式，结合题目要求的浓度值，计算撤离所需的最小速度和爆炸后可下井的时间。具体思路：1. 确定爆炸前后的函数类型，代入对应点求解析式；2. 对爆炸前的函数，代入y=34求对应时间，计算剩余撤离时间，结合距离求速度；3. 对爆炸后的函数，代入y=4求对应时间，减去爆炸时刻得到爆炸后需等待的时间。
【解析】
(1) 求爆炸前后的函数表达式：
爆炸前（$0≤ x≤7$）：设函数为$y=k_1x+b$，将点$(0,4)$和$(7,46)$代入，得方程组：
$\begin{cases}b=4 \\7k_1+b=46\end{cases}$，解得$\begin{cases}k_1=6 \\b=4\end{cases}$，因此爆炸前的函数表达式为$y=6x+4\ (0≤ x≤7)$；
爆炸后（$x＞7$）：设函数为$y=\frac{k_2}{x}$，将点$(7,46)$代入，得$46=\frac{k_2}{7}$，解得$k_2=322$，因此爆炸后的函数表达式为$y=\frac{322}{x}\ (x＞7)$。
(2) 求撤离最小速度：
当$y=34$时，代入爆炸前的函数$y=6x+4$，得$6x+4=34$，解得$x=5$；
爆炸前剩余撤离时间为$7-5=2$小时，撤离距离为3km，因此最小速度为$\frac{3}{2}=1.5\ \mathrm{km/h}$。
(3) 求爆炸后可下井的时间：
当$y=4$时，代入爆炸后的函数$y=\frac{322}{x}$，得$4=\frac{322}{x}$，解得$x=80.5$；
爆炸后需等待的时间为$80.5-7=73.5$小时。
【答案】
(1) 爆炸前：$y=6x+4\ (0≤ x≤7)$，爆炸后：$y=\frac{322}{x}\ (x＞7)$；
(2) $1.5\ \mathrm{km/h}$；
(3) $73.5$小时。
【知识点】
一次函数应用、反比例函数应用、函数实际问题
【点评】
本题结合实际场景考查函数的应用，需准确区分爆炸前后的函数类型，利用待定系数法求解解析式，再结合函数值计算自变量，计算时需注意自变量的取值范围，属于中等难度的应用题，侧重考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.6

23. (10分)(2024·日照中考)为进一步推动阳光体育运动,提高学生身体素质,今年5月学校举行健美操比赛,最终有甲、乙、丙三个班级进入团体决赛.团体决赛需要分别进行五个单项比赛,计分规则如下表:

现将参加比赛的甲、乙、丙三个班级的得分数据进行整理、描述和分析,并绘制统计图表,部分信息如下:
a.甲、乙两个班五个单项得分折线图:

解：
(1) 将甲班五个单项得分从小到大排列：80，83，92，95，98，
处于中间位置的数为92，即甲班五个单项得分的中位数是92；
乙班五个单项得分中93出现的次数最多，共2次，即乙班五个单项得分的众数是93。
(2) 甲班团体最终成绩：
$80 + 83 + 98 + 92 + 95 = 448$
乙班团体最终成绩：
$84 + 88 + 93 + 86 + 93 = 444$
(3) 丙班团体最终成绩：
$90 + 90 + 90 + 93 + 87 = 450$
$\because 450＞448＞444$
$\therefore$ 丙班的团体最终成绩最高，丙班获得团体第一名。
答：(1) 甲班中位数为92，乙班众数为93；(2) 甲班团体最终成绩为448，乙班团体最终成绩为444；(3) 丙班获得团体第一名。

【分析】
本题考查统计量的计算及实际应用，解题思路如下：1. 求中位数时，需先将一组数据排序，若数据个数为奇数，中间位置的数即为中位数；求众数时，找出一组数据中出现次数最多的数即可。2. 团体最终成绩为五个单项得分的总和，分别计算甲、乙、丙三班的总分后，比较大小确定名次。
【解析】
(1) 将甲班五个单项得分从小到大排列：80，83，92，95，98，共5个数据（奇数个），中间位置的数为92，故甲班得分的中位数是92；乙班五个单项得分中93出现2次，次数最多，故乙班得分的众数是93。
(2) 甲班团体最终成绩：$80 + 83 + 98 + 92 + 95 = 448$；乙班团体最终成绩：$84 + 88 + 93 + 86 + 93 = 444$。
(3) 丙班团体最终成绩：$90 + 90 + 90 + 93 + 87 = 450$；比较三个班成绩：$\because 450＞448＞444$，$\therefore$ 丙班的团体最终成绩最高，丙班获得团体第一名。
【答案】
(1) 甲班中位数为92，乙班众数为93；(2) 甲班团体最终成绩为448，乙班团体最终成绩为444；(3) 丙班获得团体第一名。
【知识点】
中位数、众数、平均数
【点评】
本题结合实际比赛场景，考查统计中核心统计量的计算及数据总和的应用，属于基础题型，解题步骤清晰，只要掌握相关统计量的计算方法即可顺利解答，体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8