一、填空题
1. 在$△ ABC$中,若其三条边的长分别为9,12,15,则这个三角形的面积是.

1. 54

2. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $BC=10, AC=6, AD=4$. 已知 $D$ 是 $AB$ 的中点, 连接 $CD$, 则 $CD$ 的长为
.

2. $\sqrt{52}$

3. 如图,每个小正方形的边长都为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,连接 AB,BC,则$∠ ABC$的度数为.

3. $45°$

4. 如图,在四边形$ABCD$中,$AB=3$,$BC=13$,$CD=12$,$AD=4$,且$∠ A=90°$,则四边形$ABCD$的面积是。

4. 36

5. 易错题 有一组勾股数,知道其中的两个数分别是 24 和 7,则第三个数是.

5. 25

二、解答题
6. 如图,在$△ ABC$中,$D$是$BC$上的点,连接$AD$,$AD=15$,$AB=17$,$AC=25$,$BD=8$,求$BC$的长.

6. $\because AD = 15, AB = 17, BD = 8, 15^2 + 8^2 = 289 = 17^2, \therefore AD^2 + BD^2 = AB^2. \therefore △ ABD$ 是直角三角形，$∠ ADB = 90°. \therefore ∠ ADC = 90°$. 在 $\mathrm{Rt}△ ACD$ 中,根据勾股定理, 可得 $CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{25^2 - 15^2} = 20$, $\therefore BC = CD + BD = 20 + 8 = 28$

7. 如图,校园里有一块四边形空地$ABCD$,$AB=20\ \mathrm{m}$,$BC=24\ \mathrm{m}$,$CD=15\ \mathrm{m}$,$AD=25\ \mathrm{m}$,过点$A$修一条小路$AE$,$E$是$BC$的中点,且$AE=16\ \mathrm{m}$.
(1) 求证:$AE ⊥ BC$;
(2) 求这块空地的面积.

7. (1) $\because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore BE = CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 24 = 12(\mathrm{m}). \because AE^2 + BE^2 = 16^2 + 12^2 = 400(\mathrm{m}^2), AB^2 = 20^2 = 400(\mathrm{m}^2), \therefore AB^2 = AE^2 + BE^2. \therefore △ ABE$ 是直角三角形, 且 $∠ AEB = 90°. \therefore AE ⊥ BC$
(2) 连接 $AC$. 由(1), 得 $AE ⊥ BC, \because E$ 是 $BC$ 的中点, $\therefore AE$ 垂直平分 $BC. \therefore AC = AB = 20\ \mathrm{m}. \because AC^2 + CD^2 = 20^2 + 15^2 = 625(\mathrm{m}^2), AD^2 = 25^2 = 625(\mathrm{m}^2), \therefore AC^2 + CD^2 = AD^2. \therefore △ ACD$ 是直角三角形, 且 $∠ ACD = 90°. \therefore$ 这块空地的面积 $= S_{△ ABC} + S_{△ ACD} = \frac{1}{2}AE · BC + \frac{1}{2}AC · CD = \frac{1}{2} × 16 × 24 + \frac{1}{2} × 20 × 15 = 342(\mathrm{m}^2)$