20. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别是边$BA$，$BC$的中点，连接$DE$.点$F$为$CA$延长线上一点，且$FA=\frac{1}{2}AC$，连接$FD$，$FE$，$AE$.
(1)求证：四边形$AFDE$是平行四边形.
(2)若$∠ DEB=∠ DEF$，求证：$EF=EC$.
(3)在(2)的条件下，若$DE=\sqrt{2}$，$∠ C=45°$，求$BC$的长.

(1) 证明：
∵ 点D，E分别是边BA，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// AC$，且 $DE=\frac{1}{2}AC$，
又∵ $FA=\frac{1}{2}AC$，
∴ $DE=FA$，且 $DE// FA$，
∴ 四边形AFDE一组对边平行且相等，
∴ 四边形AFDE是平行四边形。
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(2) 证明：
∵ $DE// AC$，
∴ $∠ DEB=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又∵ $∠ DEB=∠ DEF$，
∴ $∠ DEF=∠ C$，
∵ $DE// FC$，
∴ $∠ DEF=∠ EFC$（两直线平行，内错角相等），
∴ $∠ C=∠ EFC$，
∴ $△ EFC$为等腰三角形，
∴ $EF=EC$。
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(3) 解：
由(2)得 $∠ C=∠ EFC=45°$，
∴ $∠ FEC=180°-∠ C-∠ EFC=90°$，即$△ EFC$是直角三角形。
由(1)知 $DE=\frac{1}{2}AC$，已知$DE=\sqrt{2}$，
∴ $AC=2DE=2\sqrt{2}$，
又∵ $FA=\frac{1}{2}AC$，
∴ $FA=\sqrt{2}$，
∴ $FC=FA+AC=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
在$Rt△ EFC$中，$∠ C=45°$，
∴ $EC=FC·\sin45°=3\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=3$，
∵ E是BC的中点，
∴ $BC=2EC=6$。
答：BC的长为6。

21. 如图，O是△ABC内一点，连接OA，OB，并将OA，OB，BC，AC的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形DEFH.
(1)求证:四边形DEFH是平行四边形.
(2)若∠OAB＝45°,∠ABO＝30°,OB＝8,求DE的长.

(1) 证明：
∵D，E分别是OA，OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴$DE// AB$，$DE=\frac{1}{2}AB$。
∵H，F分别是AC，BC的中点，
∴HF是△ABC的中位线，
∴$HF// AB$，$HF=\frac{1}{2}AB$。
∴$DE// HF$，$DE=HF$，
∴四边形DEFH是平行四边形。
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(2) 解：
过点O作$OG⊥ AB$于点G，
在$Rt△ OBG$中，$∠ OGB=90°$，$∠ ABO=30°$，$OB=8$，
∴$OG=\frac{1}{2}OB=4$，
$BG=\sqrt{OB^2-OG^2}=\sqrt{8^2-4^2}=4\sqrt{3}$。
在$Rt△ OAG$中，$∠ OGA=90°$，$∠ OAB=45°$，
∴$∠ AOG=90°-45°=45°$，
∴$AG=OG=4$，
∴$AB=AG+BG=4+4\sqrt{3}$。
∵DE是△OAB的中位线，
∴$DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×(4+4\sqrt{3})=2+2\sqrt{3}$。
答：DE的长为$2+2\sqrt{3}$。