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【典例2】(1)已知函数$f(x)=\dfrac{k}{x-1}(k＞0)$在$[4,6]$上的最大值为1,则$k$的值为;
(2)已知函数$f(x)=2x+b$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正,则实数$b$的取值范围为.
解题指导 (1)由函数解析式及$k＞0$,可判断出$f(x)$在$[4,6]$上的单调性,进而表示出最大值,并根据最大值为1建立方程求解.
(2)一次函数在开区间上的函数值恒为正,可转化为最小值大于或等于0恒成立,据此列出不等式求解.
解析 (1)由题意,知当$k＞0$时,函数$f(x)=\dfrac{k}{x-1}$在$[4,6]$上单调递减,所以$f(x)_{\mathrm{max}}=f(4)=\dfrac{k}{4-1}=1$,所以$k=3$.
(2)因为$f(x)=2x+b$为增函数,所以若$f(x)=2x+b$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正,则$f(-1)=-2+b≥0$,即$b≥2$,故实数$b$的取值范围为$[2,+∞)$.
答案 (1)3 (2)$[2,+∞)$
(2)已知函数$f(x)=2x+b$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正,则实数$b$的取值范围为.
解题指导 (1)由函数解析式及$k＞0$,可判断出$f(x)$在$[4,6]$上的单调性,进而表示出最大值,并根据最大值为1建立方程求解.
(2)一次函数在开区间上的函数值恒为正,可转化为最小值大于或等于0恒成立,据此列出不等式求解.
解析 (1)由题意,知当$k＞0$时,函数$f(x)=\dfrac{k}{x-1}$在$[4,6]$上单调递减,所以$f(x)_{\mathrm{max}}=f(4)=\dfrac{k}{4-1}=1$,所以$k=3$.
(2)因为$f(x)=2x+b$为增函数,所以若$f(x)=2x+b$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正,则$f(-1)=-2+b≥0$,即$b≥2$,故实数$b$的取值范围为$[2,+∞)$.
答案 (1)3 (2)$[2,+∞)$
答案
(1) $\boldsymbol{3}$；(2) $\boldsymbol{[2,+∞)}$
解析
解：
(1) 当$k＞0$时，函数$f(x)=\frac{k}{x-1}$在$[4,6]$上单调递减，
因此$f(x)$在$[4,6]$上的最大值为$f(4)=\frac{k}{4-1}$。
由最大值为1，得$\frac{k}{3}=1$，解得$k=3$。
(2) 函数$f(x)=2x+b$的一次项系数为$2＞0$，故$f(x)$是$\mathbb{R}$上的增函数。
若$f(x)$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正，则需满足$f(-1)\ge0$，
即$2×(-1)+b\ge0$，解得$b\ge2$，
因此实数$b$的取值范围为$[2,+∞)$。
最终
(1) 当$k＞0$时，函数$f(x)=\frac{k}{x-1}$在$[4,6]$上单调递减，
因此$f(x)$在$[4,6]$上的最大值为$f(4)=\frac{k}{4-1}$。
由最大值为1，得$\frac{k}{3}=1$，解得$k=3$。
(2) 函数$f(x)=2x+b$的一次项系数为$2＞0$，故$f(x)$是$\mathbb{R}$上的增函数。
若$f(x)$在区间$(-1,2)$上的函数值恒为正，则需满足$f(-1)\ge0$，
即$2×(-1)+b\ge0$，解得$b\ge2$，
因此实数$b$的取值范围为$[2,+∞)$。
最终
【变式2】已知函数$y=\frac{ax+1}{x+2}(a\in\mathbb{R})$，若该函数在区间$[a,+∞)$上单调递减，且函数值不恒为负，求实数$a$的取值范围。
答案
解:$y=\dfrac{ax+1}{x+2}=a+\dfrac{1-2a}{x+2}$,$x≠-2$.因为该函数在区间$[a,+∞)$上单调递减,且函数值不恒为负,所以
$\begin{cases}1-2a＞0,\\\dfrac{a^2+1}{a+2}≥0,\end{cases}$ 解得$-2＜a＜\dfrac{1}{2}$.
故实数$a$的取值范围为$(-2,\dfrac{1}{2})$.
$\begin{cases}1-2a＞0,\\\dfrac{a^2+1}{a+2}≥0,\end{cases}$ 解得$-2＜a＜\dfrac{1}{2}$.
故实数$a$的取值范围为$(-2,\dfrac{1}{2})$.
1.(教材改编题)已知函数$y=f(x)$的定义域为$[-1,5]$，其图象如图所示，则下列说法中，错误的是（
A.$f(x)$的单调递减区间为$(0,2)$
B.$f(x)$的最大值为3
C.$f(x)$的最小值为$-1$
D.$f(x)$的单调递增区间为$[-1,0]\cup[2,5]$
D
）A.$f(x)$的单调递减区间为$(0,2)$
B.$f(x)$的最大值为3
C.$f(x)$的最小值为$-1$
D.$f(x)$的单调递增区间为$[-1,0]\cup[2,5]$
答案
由题中图象可知,$f(x)$的单调递减区间为$(0,2)$,故A不符合题意;
$f(x)_{\max}=f(0)=3$,故B不符合题意;
$f(x)_{\min}=f(2)=-1$,故C不符合题意;
由题中图象可知,$f(x)$的单调递增区间为$[-1,0]$和$[2,5]$,并非严格的单调递增,所以不能用“$\cup$”连接,故D符合题意.
$f(x)_{\max}=f(0)=3$,故B不符合题意;
$f(x)_{\min}=f(2)=-1$,故C不符合题意;
由题中图象可知,$f(x)$的单调递增区间为$[-1,0]$和$[2,5]$,并非严格的单调递增,所以不能用“$\cup$”连接,故D符合题意.
2.已知函数$f(x)=x^2 -3x +2$在区间$[1,3]$上的最大值为$A$,最小值为$B$,则$A-B=(\ )$
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{7}{4}$
C.$2$
D.$-2$
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{7}{4}$
C.$2$
D.$-2$
答案
因为抛物线$f(x)=x^2 -3x +2$的对称轴是$x=\dfrac{3}{2}$,
所以$f(x)$在$[1,\dfrac{3}{2}]$上单调递减,在$[\dfrac{3}{2},3]$上单调递增,
所以$f(x)_{\min}=f(\dfrac{3}{2})=-\dfrac{1}{4}$.
因为$f(3)=2$,$f(1)=0$,
所以$f(x)_{\max}=2$,所以$A=2$,$B=-\dfrac{1}{4}$,
所以$A-B=2-(-\dfrac{1}{4})=\dfrac{9}{4}$.
所以$f(x)$在$[1,\dfrac{3}{2}]$上单调递减,在$[\dfrac{3}{2},3]$上单调递增,
所以$f(x)_{\min}=f(\dfrac{3}{2})=-\dfrac{1}{4}$.
因为$f(3)=2$,$f(1)=0$,
所以$f(x)_{\max}=2$,所以$A=2$,$B=-\dfrac{1}{4}$,
所以$A-B=2-(-\dfrac{1}{4})=\dfrac{9}{4}$.
3.(多选)下列命题是真命题的是 (
A.函数$f(x)=-2x-3$在$[1,3]$上单调递减,最小值为$-9$
B.函数$f(x)=-\dfrac{2}{x}$在$[1,2]$上单调递增,最大值为$-1$
C.函数$f(x)=x^2-2x$在$[0,2]$上先增后减,最小值为$0$
D.函数$f(x)=\begin{cases}x, & x＞0, \\ x^2, & x≤0\end{cases}$的定义域是$\mathbf{R}$,值域是$[0,+∞)$
ABD
)A.函数$f(x)=-2x-3$在$[1,3]$上单调递减,最小值为$-9$
B.函数$f(x)=-\dfrac{2}{x}$在$[1,2]$上单调递增,最大值为$-1$
C.函数$f(x)=x^2-2x$在$[0,2]$上先增后减,最小值为$0$
D.函数$f(x)=\begin{cases}x, & x＞0, \\ x^2, & x≤0\end{cases}$的定义域是$\mathbf{R}$,值域是$[0,+∞)$
答案
对于A,函数$f(x)=-2x-3$在$[1,3]$上单调递减,最小值为$f(3)=-9$,故该选项正确;
对于B,函数$f(x)=-\dfrac{2}{x}$在$[1,2]$上单调递增,最大值为$f(2)=-1$,故该选项正确;
对于C,函数$f(x)=x^2-2x$在$[0,1]$上单调递减,在$[1,2]$上单调递增,最小值为$f(1)=-1$,故该选项错误;
对于D,函数$f(x)=\begin{cases}x,x＞0,\\x^2,x≤0\end{cases}$的定义域是$\mathbf{R}$,当$x＞0$时,$f(x)＞0$,当$x≤0$时,$f(x)≥0$,即值域是$[0,+∞)$,故该选项正确.
对于B,函数$f(x)=-\dfrac{2}{x}$在$[1,2]$上单调递增,最大值为$f(2)=-1$,故该选项正确;
对于C,函数$f(x)=x^2-2x$在$[0,1]$上单调递减,在$[1,2]$上单调递增,最小值为$f(1)=-1$,故该选项错误;
对于D,函数$f(x)=\begin{cases}x,x＞0,\\x^2,x≤0\end{cases}$的定义域是$\mathbf{R}$,当$x＞0$时,$f(x)＞0$,当$x≤0$时,$f(x)≥0$,即值域是$[0,+∞)$,故该选项正确.
