17. (★★)(2025·陕西)如图26.1-16,过原点的直线与反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0) $ 的图象交于 $ A(m,n),B(m - 6,n - 6) $ 两点,则 $ k $ 的值为。
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题目给出的反比例函数为 $ y = \frac{k}{x} $，且直线过原点，因此直线的方程为 $ y = ax $。
由于 $ A(m, n) $ 和 $ B(m-6, n-6) $ 在直线上，所以有：
$n = am$
$n - 6 = a(m - 6)$
将 $ n = am $ 代入 $ n - 6 = a(m - 6) $ 得：
$am - 6 = a(m - 6)$
$am - 6 = am - 6a$
$6a = 6$
$a = 1$
所以，直线的方程为 $ y = x $。
由于 $ A(m, n) $ 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 上，所以有：
$n = \frac{k}{m}$
而 $ n = m $，所以：
$m = \frac{k}{m}$
$m^2 = k$
同样，点 $ B(m-6, n-6) $ 也在反比例函数上，所以有：
$n - 6 = \frac{k}{m - 6}$
而 $ n - 6 = m - 6 $，所以：
$m - 6 = \frac{k}{m - 6}$
$(m - 6)^2 = k$
将 $ k = m^2 $ 代入 $ (m - 6)^2 = k $ 得：
$(m - 6)^2 = m^2$
$m^2 - 12m + 36 = m^2$
$-12m + 36 = 0$
$12m = 36$
$m = 3$
所以：
$k = m^2 = 3^2 = 9$

18. (★★)(2022·玉林)如图26.1-17,点 $ A $ 在双曲线 $ y = \frac{k}{x}(k ＞ 0,x ＞ 0) $ 上,点 $ B $ 在直线 $ l:y = mx - 2b(m ＞ 0,b ＞ 0) $ 上,$ A $ 与 $ B $ 关于 $ x $ 轴对称,直线 $ l $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $,当四边形 $ AOCB $ 是菱形时,有以下结论：① $ A(b,\sqrt{3}b) $；②当 $ b = 2 $ 时,$ k = 4\sqrt{3} $；③ $ m = \frac{\sqrt{3}}{3} $；④ $ S_{四边形AOCB} = 2b^2 $。则所有正确结论的序号是。
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②③

∵A与B关于x轴对称，设A$(a,c)$，则B$(a,-c)$。
直线$l:y=mx-2b$与y轴交于点C，令$x=0$得$y=-2b$，∴C$(0,-2b)$。
∵四边形AOCB是菱形，∴四边相等且对边平行。
OC为菱形一边，长度为$2b$（$O(0,0)$到$C(0,-2b)$）。
BA为A$(a,c)$到B$(a,-c)$的距离，$BA=2c$，由菱形性质$BA=OC$，得$2c=2b$，∴$c=b$，则A$(a,b)$，B$(a,-b)$。
AO为菱形一边，$AO=2b$，$AO=\sqrt{a^2+b^2}=2b$，解得$a=\sqrt{3}b$，∴A$(\sqrt{3}b,b)$。
B$(\sqrt{3}b,-b)$在直线$l$上，代入得$-b=m\cdot\sqrt{3}b - 2b$，解得$m=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
$k=xy=\sqrt{3}b\cdot b=\sqrt{3}b^2$，当$b=2$时，$k=4\sqrt{3}$。
菱形AOCB面积$=底×高=2b\cdot\sqrt{3}b=2\sqrt{3}b^2\neq2b^2$。
综上，②③正确。

19. (★★★)(2022·天门)如图26.1-18,$ OA = OB $,$ \angle AOB = 90° $,点 $ A,B $ 分别在函数 $ y = \frac{k_1}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,且点 $ A $ 的坐标为 $ (1,4) $。
(1)求 $ k_1,k_2 $ 的值。
(2)若点 $ C,D $ 分别在函数 $ y = \frac{k_1}{x}(x ＞ 0) $ 和 $ y = \frac{k_2}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上,且不与点 $ A,B $ 重合,是否存在点 $ C,D $,使得 $ \triangle COD \cong \triangle AOB $？若存在,请直接写出点 $ C,D $ 的坐标；若不存在,请说明理由。
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(1) $k_1=4$；点A(1,4)，$OA=\sqrt{1^2+4^2}=\sqrt{17}$，过A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，证△AOE≌△OBF(AAS)，得OE=BF=1，AE=OF=4，B(4,-1)，代入$y=\frac{k_2}{x}$得$k_2=4×(-1)=-4$。
(2) 存在；C(4,1)，D(1,-4)。
(1) $k_1=4$，$k_2=-4$；(2)存在，C(4,1)，D(1,-4)。