21. (6 分)已知一个数的算术平方根为$2m-6$,平方根为$\pm (m-1)$,求$m$的值。

因为一个数的算术平方根为非负数，且其平方根互为相反数，算术平方根是平方根中的非负根。
已知该数的算术平方根为$2m - 6$，平方根为$\pm (m - 1)$，则算术平方根$2m - 6$必等于平方根中的非负根，即$2m - 6 = |m - 1|$，且$2m - 6 \geq 0$（算术平方根非负）。
由$2m - 6 \geq 0$，得$m \geq 3$。此时$m - 1 \geq 2 ＞ 0$，故$|m - 1| = m - 1$。
则方程为$2m - 6 = m - 1$，解得$m = 5$。
验证：当$m = 5$时，算术平方根$2×5 - 6 = 4$，平方根$\pm (5 - 1) = \pm 4$，符合题意。
综上，$m = 5$。