【例题1】如图,已知 $Rt \triangle ABC$ 的斜边 $AB$ 在直线 $l$ 上,$AC = 1$, $AB = 2$,将 $Rt \triangle ABC$ 绕着点 $B$ 在平面内按顺时针方向旋转,使 $BC$ 落在直线 $l$ 上,得到 $\triangle A_1BC_1$,再将 $\triangle A_1BC_1$ 绕点 $C_1$ 在平面内按顺时针方向旋转,使 $A_2C_1$ 落在直线 $l$ 上,得到 $\triangle A_2B_1C_1$,则点 $A$ 从开始至结束所走过的路程为多少？

思路导引 解答本题的关键是要弄清点 $A$ 的运动轨迹是两条弧长,然后确定弧所对的圆心角和半径,代入弧长公式计算即可。
解：在 $Rt \triangle ABC$ 中,$AC = 1$, $AB = 2$,
$\therefore \angle ABC = 30^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$, $\angle ABA_1 = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$。
$\therefore \overset{\frown}{AA_1} = \frac{150\pi × 2}{180} = \frac{5\pi}{3}$, $\overset{\frown}{A_1A_2} = \frac{90\pi × 1}{180} = \frac{1}{2}\pi$。
则点 $A$ 从开始至结束所走过的路程为 $\frac{5\pi}{3} + \frac{1}{2}\pi = \frac{13\pi}{6}$。

【例题2】如图,线段 $AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$,连接 $OA$, $OB$,$OB$ 交 $\odot O$ 于点 $D$。已知 $OA = OB = 6 cm$, $AB = 6\sqrt{3} cm$,求 $\odot O$ 的半径和图中阴影部分的面积。

思路导引 连接半径 $OC$,不规则图形的面积等于直角三角形和扇形的面积之差。
解：如图,连接 $OC$。
$\because AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $C$,
$\therefore OC \perp AB$。
$\because OA = OB$,
$\therefore CB = \frac{1}{2}AB = 3\sqrt{3} ( cm)$。
又 $OB = 6 cm$,$\therefore OC = 3 ( cm)$,$\angle B = 30^\circ$,$\angle COD = 60^\circ$。
$\therefore S_{阴影} = S_{Rt \triangle OCB} - S_{扇形 OCD}$
$= \frac{1}{2} × OC × CB - \frac{n\pi R^2}{360}$
$= \frac{1}{2} × 3 × 3\sqrt{3} - \frac{60\pi × 3^2}{360}$
$= \left(\frac{9}{2}\sqrt{3} - \frac{3}{2}\pi\right) ( cm^2)$。
$\therefore$ 图中阴影部分的面积为 $\left(\frac{9}{2}\sqrt{3} - \frac{3}{2}\pi\right) cm^2$。