7. 抛物线 $ y = ax^{2} + b $ 的图象如图所示,则下列结论中正确的是()

A.$ a ＞ 0,b ＜ 0 $
B.$ a ＞ 0,b ＞ 0 $
C.$ a ＜ 0,b ＜ 0 $
D.$ a ＜ 0,b ＞ 0 $

D

由抛物线开口向下可知$a＜0$，由抛物线与$y$轴交点在$y$轴正半轴可知$b ＞ 0$。

▲8. 若二次函数 $ y = ax^{2} + c(a \neq 0) $ 当 $ x $ 分别取 $ x_{1},x_{2}(x_{1} \neq x_{2}) $ 时,函数值相等,则当 $ x $ 取 $ x_{1} + x_{2} $ 时,函数值为()
A.$ a + b $
B.$ a - c $
C.$ c $
D.$ -c $

C

已知二次函数 $y = ax^2 + c$，当 $x$ 分别取 $x_1$ 和 $x_2$ ($x_1 \neq x_2$) 时，函数值相等，即
$a x_1^2 + c = a x_2^2 + c$
化简得 $a x_1^2 = a x_2^2$，即 $x_1^2 = x_2^2$。
由于 $x_1 \neq x_2$，故 $x_1 = -x_2$，即 $x_1 + x_2 = 0$。
当 $x = x_1 + x_2 = 0$ 时，函数值为
$y = a \cdot 0^2 + c = c$

9. 抛物线向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位得到 $ y = 2(x - 1)^{2} - 2 $,则原抛物线的函数表达式是.

$y=2(x+1)^2+1$

设原抛物线的函数表达式为$y = 2(x - h)^2 + k$。抛物线向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点坐标从$(h,k)$变为$(h + 2,k - 3)$。已知平移后抛物线为$y = 2(x - 1)^2 - 2$，其顶点坐标为$(1,-2)$，则有$h + 2 = 1$，$k - 3 = -2$，解得$h = -1$，$k = 1$。所以原抛物线表达式为$y = 2(x + 1)^2 + 1$。

10. 抛物线 $ y = -(x - 2)^{2} - 1 $ 的顶点为 $ C $,直线 $ y = -2x + b $ 经过点 $ C $,且与 $ y $ 轴交于点 $ A $.求 $ \triangle OAC $ 的面积(点 $ O $ 为坐标原点).

3

1. 对于抛物线 $ y = -(x - 2)^2 - 1 $，其顶点 $ C $ 的坐标为 $ (2, -1) $。
2. 因为直线 $ y = -2x + b $ 经过点 $ C(2, -1) $，代入得：$ -1 = -2×2 + b $，解得 $ b = 3 $，所以直线解析式为 $ y = -2x + 3 $。
3. 直线与 $ y $ 轴交于点 $ A $，令 $ x = 0 $，得 $ y = 3 $，故 $ A(0, 3) $。
4. 点 $ O $ 为坐标原点，即 $ O(0, 0) $。
5. $ \triangle OAC $ 中，$ OA = 3 $，点 $ C $ 到 $ y $ 轴的距离为 $ 2 $（即底边 $ OA $ 上的高）。
6. 面积 $ S = \frac{1}{2}×OA×2 = \frac{1}{2}×3×2 = 3 $。

★11. 如图,一座拱桥呈抛物线状,桥的最大高度是 16 米,跨度为 40 米.请在图中建立以 $ AB $ 所在直线为 $ x $ 轴的平面直角坐标系,并使抛物线的顶点落在 $ y $ 轴正半轴上.
(1) 求该抛物线的函数表达式.
(2) 求在线段 $ AB $ 上离中心 $ M $ 处 5 米的地方桥的高度.

(1)$y=-\frac{1}{25}x^2+16$；
(2)15米。

(1) 以AB所在直线为x轴，AB中点M为原点建立平面直角坐标系，顶点坐标为(0,16)，设抛物线表达式为$y=ax^2+16$。
∵抛物线过点(20,0)，代入得$0=a(20)^2+16$，解得$a=-\frac{1}{25}$。
∴抛物线函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2+16$。
(2) 离中心M处5米的点横坐标为$x=5$或$x=-5$，代入表达式得：
$y=-\frac{1}{25}(5)^2+16=-1+16=15$。
∴桥的高度为15米。