2.(2024·云南中考)已知 AF 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高.若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到直线 AC 的距离为()
A.$\frac{3}{2}$
B.2
C.3
D.$\frac{7}{2}$

C

本题可根据等腰三角形的性质，利用角平分线的性质来求解点$F$到直线$AC$的距离。
因为$AB = AC$（等腰三角形定义），$AF$是等腰$\triangle ABC$底边$BC$上的高，根据等腰三角形三线合一的性质可知$AF$也是$\angle BAC$的平分线。
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点$F$到直线$AB$的距离为$3$，由于点$F$在$\angle BAC$的平分线$AF$上，所以点$F$到直线$AC$的距离等于点$F$到直线$AB$的距离，即为$3$。

1. 如图 1,已知∠AOB,只用直尺和圆规,如何判断∠AOB 是否为直角？如图 2,小意在 OA,OB 上分别取 C,D,以点 C 为圆心,CD 的长为半径画弧,交 OB 的反向延长线于点 E.若测量得 OE = OD,则∠AOB = 90°.小意判断的依据是()

A.等边对等角
B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C.垂线段最短
D.等腰三角形“三线合一”

D

由作图知CD=CE（同圆半径相等），故△CDE为等腰三角形。
∵OE=OD，
∴点O为ED中点，即CO为等腰△CDE底边ED上的中线。根据等腰三角形“三线合一”，底边上的中线垂直于底边，
∴CO⊥ED，即∠AOB=90°。

2. 如图,在等腰三角形 ABC 中,CH 是底边上的高,点 P 是线段 CH 上不与端点重合的任意一点,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 BP 并延长交 AC 于点 F.求证：
(1)∠CAE = ∠CBF；
(2)AE = BF.

（1）∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高，∴AC=BC，CH平分∠ACB（三线合一），即∠ACP=∠BCP。
在△ACP和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BC \\ ∠ACP=∠BCP \\ CP=CP \end{array}\right.$
∴△ACP≌△BCP（SAS），∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF。
（2）在△ACE和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠CAE=∠CBF \\ AC=BC \\ ∠ACE=∠BCF \end{array}\right.$
∴△ACE≌△BCF（ASA），∴AE=BF。

3. 如图,在△ABC 中,AB = BC,DF ⊥ BC 于点 D,交 AC 于点 F.F 是 AC 的中点,求证∠CFD = $\frac{1}{2}$∠B.

因为 $AB = BC$，$F$ 是 $AC$ 的中点，
根据等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角平角线互相重合，
所以 $BF\bot AC$，$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle B$，
因为 $DF\bot BC$，
所以 $\angle CDF = 90^\circ$，
因为 $BF\bot AC$，
所以 $\angle BFC = 90^\circ$，
所以 $\angle CFD + \angle DCF = 90^\circ$，$\angle CBF + \angle DCF = 90^\circ$，
所以 $\angle CFD = \angle CBF$，
所以 $\angle CFD = \frac{1}{2}\angle B$。

4. 如图,在△ABC 中,AB = AC = 10,BC = 12,AD = 8,AD 是∠BAC 的平分线.若 P,Q 分别是 AD 和 AC 上的动点,则 PC + PQ 的最小值是.

48/5

∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），则点C关于AD的对称点为点B，故PC=PB。∴PC+PQ=PB+PQ。要使PB+PQ最小，即求点B到AC上一点Q的最短距离，该距离为点B到AC的垂线段长。
由AB=AC=10，BC=12，AD=8，得S△ABC=1/2×BC×AD=1/2×12×8=48。设AC边上的高为h，则S△ABC=1/2×AC×h=48，即1/2×10×h=48，解得h=48/5。
故PC+PQ的最小值为48/5。