23. (本小题 12 分)(1) 如图①,$AD// BC$,BD 平分$∠ABC$,求证:$AB= AD$;
(2) 如图②,$AD// BC$,$AB// DC$,BE 平分$∠ABC$,交边 AD 于点 E,过点 A 作$AF⊥BE$交 DC 的延长线于点 F.若$AD= 6$,$CD= 3.5$,求 CF 的长.

(1) 证明见上；(2) CF=2.5

(1) ∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．
∴∠ABD=∠ADB．
∴AB=AD（等角对等边）．
(2) ∵AD//BC，AB//DC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD=3.5，AD=BC=6，AB//CD，AD//BC．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC．
∵AD//BC，∴∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）．
∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3.5．
∴ED=AD-AE=6-3.5=2.5．
设AF⊥BE于点O，∵AB=AE，∴AO垂直平分BE（等腰三角形三线合一），即BO=OE．
∵AB//CD，∴∠ABO=∠FEO（两直线平行，内错角相等）．
在△ABO和△FEO中，
∠ABO=∠FEO，BO=OE，∠AOB=∠FOE=90°，
∴△ABO≌△FEO（ASA）．∴AB=FE=3.5．
过E作EN//FC交BC于N，∵AB//CD//EN，EF//NC，
∴四边形ENCF是平行四边形．∴NC=EF=3.5，EN=FC．
∵EN//AB，∴∠ABE=∠BEN（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ABE=∠EBC，∴∠BEN=∠EBC．∴BN=EN（等角对等边）．
∵BN=BC-NC=6-3.5=2.5，∴EN=2.5．∴FC=EN=2.5．

24. (本小题 12 分)已知$(x-a)(x-b)= x^{2}-6mx+9m^{2}-4$,其中$a＞b$.
(1)$a+b=$,$ab=$;(用含 m 的式子表示)
(2) 求$a-b$的值;
(3) 若$\sqrt{a^{2}-b^{2}}$是整数,m 是正整数,求 m 的最小值.

(1) $6m$；$9m^2 - 4$
(2) 因为$(a - b)^2 = (a + b)^2 - 4ab$，由(1)知$a + b = 6m$，$ab = 9m^2 - 4$，所以$(a - b)^2 = (6m)^2 - 4(9m^2 - 4) = 36m^2 - 36m^2 + 16 = 16$。又因为$a ＞ b$，所以$a - b = 4$。
(3) 因为$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = 4×6m = 24m$，所以$\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{24m} = 2\sqrt{6m}$。因为$\sqrt{a^2 - b^2}$是整数，所以$\sqrt{6m}$是整数，设$\sqrt{6m} = k$（$k$为正整数），则$6m = k^2$，$m = \frac{k^2}{6}$。因为$m$是正整数，所以$k^2$是6的倍数，$k$最小为6，此时$m = \frac{36}{6} = 6$，故$m$的最小值为6。