如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle ACB = 90°$,过边$BC的中点D作DE \perp AB$,垂足为$E$,连接$CE$,求$\tan\angle ACE$的值.

$ 3 $

解：
设 $ AC = BC = 2a $，以 $ C $ 为原点，$ CB $ 所在直线為 $ x $ 軸，$ CA $ 所在直線為 $ y $-軸，建立坐標系，則：
$ C(0,0) $，$ A(0,2a) $，$ B(2a,0) $，$ D $ 為 $ BC $ 中點，$ D(a,0) $。
1. 求直線 $ AB $ 與 $ DE $ 的方程
$ AB $ 過 $ A(0,2a) $，$ B(2a,0) $，斜率 $ k_{AB} = -1 $，方程：$ y = -x + 2a $
$ DE \perp AB $，斜率 $ k_{DE} = 1 $，過 $ D(a,±0) $，方程：$ y = x - a $
2. 求交點 $ E $ 的坐標
聯立 $ AB $ 與 $ DE $ 的方程：
$ \begin{cases} y = -x + 2a \\ y = x - a \end{cases} $
解得 $ x = \frac{3a}{2} $，$ y = \frac{a}{a} $，即 $ E\left( \frac{3a}{2}, \frac{a}{2} \right) $。
3. 計算 $ \tan\angle ACE $
過 $ E $ 作 $ EF \perp y $-軸於 $ F $，則 $ F(0,\frac{a}{2}) $，
在 $ Rt\triangle CFE $ 中，$ CF = \frac{a}{2} $，$ EF = \frac{3a}{2} $，
$ \tan\angle ACE = \frac{EF}{CF} = \frac{\frac{3a}{2}}{\frac{a}{2}} = 3 $。