5. 如图，坡角为$\angle \alpha$的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树$AB$，当太阳光
线与水平线成$45°$角沿斜坡照射时，在斜坡上的树影$BC$长为$m$，则大树$AB$的
高为().

A.$m (\cos \alpha - \sin \alpha)$
B.$m (\sin \alpha - \cos \alpha)$
C.$m (\cos \alpha - \tan \alpha)$
D.$\frac{m}{\sin \alpha} - \frac{m}{\cos \alpha}$

5.A

过点$ C $作水平线的垂线，过点$ B $作水平线的垂线，垂足分别为$ D $、$ E $，过点$ C $作$ CF \perp BE $于点$ F $。
在$ Rt\triangle BCD $中，$ BC = m $，$ \angle BCD = \alpha $，则$ CD = BC\cos\alpha = m\cos\alpha $，$ BD = BC\sin\alpha = m\sin\alpha $。
因为$ CF \perp BE $，$ DE \perp CD $，$ BE \perp DE $，所以四边形$ CDEF $为矩形，故$ CF = DE = CD = m\cos\alpha $，$ EF = BD = m\sin\alpha $。
由于太阳光线与水平线成$ 45° $角，所以$ \angle ACF = 45° $，在$ Rt\triangle ACF $中，$ \angle ACF = 45° $，则$ AF = CF\tan45° = m\cos\alpha × 1 = m\cos\alpha $。
因此，大树$ AB $的高为$ AF - EF = m\cos\alpha - m\sin\alpha = m(\cos\alpha - \sin\alpha) $。
答案：A

6. 如图，为了测得电视塔的高度$AB$，在$D$处用高为1 m的测角仪$CD$，测得
电视塔顶端$A$的仰角为$30°$，再向电视塔方向前进100 m到达$F$处，又测得电视
塔顶端$A$的仰角为$60°$，则这个电视塔的高度$AB$为().

A.$50 \sqrt{3}$ m
B.51 m
C.$(50 \sqrt{3} + 1)$m
D.101 m

6.C

解：设 $ EG = x \, m $，则 $ CE = 100 + x \, m $。
在 $ Rt\triangle AEG $ 中，$ \angle AEG = 60° $，$ \tan 60° = \frac{AG}{EG} $，
$ \therefore AG = EG · \tan 60° = x\sqrt{3} \, m $。
在 $ Rt\triangle ACE $ 中，$ \angle ACE = 30° $，$ \tan 30° = \frac{AG}{CE} $，
$ \therefore AG = CE · \tan 30° = \frac{\sqrt{3}}{3}(100 + x) \, m $。
由 $ x\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(100 + x) $，解得 $ x = 50 $。
$ \therefore AG = 50\sqrt{3} \, m $。
$ \because CD = 1 \, m $，$ \therefore BG = 1 \, m $，
$ \therefore AB = AG + BG = (50\sqrt{3} + 1) \, m $。
答案：C

7. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆$AB$的
高度，站在教学楼的$C$处测得旗杆底端$B$的俯角为$45°$，测得旗
杆顶端$A$的仰角为$30°$，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆
$AB$的高度是m(结果保留根号).

$7.(9 + 3\sqrt{3})$

解：过点$C$作$CD \perp AB$于点$D$，则$CD = 9\ m$。
在$ Rt \triangle ACD$中，$\angle ACD = 30°$，$\tan 30° = \dfrac{AD}{CD}$，
$\therefore AD = CD · \tan 30° = 9 × \dfrac{\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\ m$。
在$ Rt \triangle BCD$中，$\angle BCD = 45°$，$\tan 45° = \dfrac{BD}{CD}$，
$\therefore BD = CD · \tan 45° = 9 × 1 = 9\ m$。
$\therefore AB = AD + BD = 3\sqrt{3} + 9 = (9 + 3\sqrt{3})\ m$。
$(9 + 3\sqrt{3})$

8. 如图，小敏同学想测量一棵大树的高度，她站

在$B$处仰望树顶，测得仰角为$30°$，再往大树的
方向前进4 m，测得仰角为$60°$，已知小敏同学的身
高为1.6 m，则这棵树的高度为(结果精
确到0.1 m，$\sqrt{3} \approx 1.73$).

8.5.1m

设小敏眼睛到地面的高度为$AB = 1.6\, m$，前进4m后到达点$C$，两次观测点到树的水平距离分别为$BD = x\, m$，$CD = (x - 4)\, m$，树高为$h\, m$，则树顶到眼睛的垂直距离为$(h - 1.6)\, m$。
在$\triangle ADE$中，$\tan30°=\frac{h - 1.6}{x}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得$x=\sqrt{3}(h - 1.6)$。
在$\triangle AFE$中，$\tan60°=\frac{h - 1.6}{x - 4}=\sqrt{3}$，得$x - 4=\frac{h - 1.6}{\sqrt{3}}$。
联立两式：$\sqrt{3}(h - 1.6)-4=\frac{h - 1.6}{\sqrt{3}}$，解得$h - 1.6 = 2\sqrt{3}\approx3.46$。
故$h\approx3.46 + 1.6 = 5.1\, m$。
5.1

9. 如图，通过水平飞行的飞机观测到在点$A$俯角为$30°$方向的点$F$处有疑
似飞机残骸的物体(该物体视为静止).为了便于观察，飞机继续向前飞行了800 m
到达点$B$，此时测得点$F$在点$B$俯角为$45°$的方向上，请你计算当飞机飞到点$F$的
正上方点$C$时(点$A$，$B$，$C$在同一直线上)，竖直高度$CF$约为多少米(结果取
整数，$\sqrt{3} \approx 1.7$)?

9.
∵∠BCF = 90°,∠FBC = 45°,
∴BC = CF.
∵∠CAF = 30°,
∴$tan30° = \frac{CF}{AB + BC} = \frac{CF}{CF + AB} = \frac{CF}{800 + CF} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$解得$CF = 400\sqrt{3} + 400 ≈ 1080(m).$