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【例4】计算：
(1) $(3a^{3}b^{2} - 2a^{2}b + ab)÷(ab)$；
(2) $(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)$。
(1) $(3a^{3}b^{2} - 2a^{2}b + ab)÷(ab)$；
(2) $(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)$。
答案
(1)
$\begin{aligned}&(3a^{3}b^{2} - 2a^{2}b + ab)÷(ab)\\=&3a^{3}b^{2}÷(ab)-2a^{2}b÷(ab)+ab÷(ab)\\=&3a^{3 - 1}b^{2 - 1}-2a^{2 - 1}b^{1 - 1}+1\\=&3a^{2}b - 2a + 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)\\=&12x^{3}÷(-2x)-6x^{2}÷(-2x)-2x÷(-2x)\\=&12÷(-2)× x^{3 - 1}-6÷(-2)× x^{2 - 1}-2÷(-2)\\=& - 6x^{2}+3x + 1\end{aligned}$
$\begin{aligned}&(3a^{3}b^{2} - 2a^{2}b + ab)÷(ab)\\=&3a^{3}b^{2}÷(ab)-2a^{2}b÷(ab)+ab÷(ab)\\=&3a^{3 - 1}b^{2 - 1}-2a^{2 - 1}b^{1 - 1}+1\\=&3a^{2}b - 2a + 1\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&(12x^{3} - 6x^{2} - 2x)÷(-2x)\\=&12x^{3}÷(-2x)-6x^{2}÷(-2x)-2x÷(-2x)\\=&12÷(-2)× x^{3 - 1}-6÷(-2)× x^{2 - 1}-2÷(-2)\\=& - 6x^{2}+3x + 1\end{aligned}$
【变式4】计算$(12x^{3} - 8x^{2} + 16x)÷(-4x)$，结果是()。
A.$-3x^{2} + 2x - 4$
B.$-3x^{2} - 2x + 4$
C.$-3x^{2} + 2x + 4$
D.$3x^{2} - 2x + 4$
A.$-3x^{2} + 2x - 4$
B.$-3x^{2} - 2x + 4$
C.$-3x^{2} + 2x + 4$
D.$3x^{2} - 2x + 4$
答案
A
解析
要将多项式 $(12x^{3} - 8x^{2} + 16x)$ 除以单项式 $(-4x)$，可以分别将多项式的每一项除以 $-4x$：
$12x^{3} ÷ (-4x) = -3x^{2}$，
$-8x^{2} ÷ (-4x) = 2x$，
$16x ÷ (-4x) = -4$。
将以上结果组合，得到：$-3x^{2} + 2x - 4$。
$12x^{3} ÷ (-4x) = -3x^{2}$，
$-8x^{2} ÷ (-4x) = 2x$，
$16x ÷ (-4x) = -4$。
将以上结果组合，得到：$-3x^{2} + 2x - 4$。
1. 下列计算中，正确的是()。
A.$a^{6}÷a^{2} = a^{3}$
B.$(-1)^{0} = -1$
C.$2^{0} = 3^{0}$
D.$a^{0} = 1$
A.$a^{6}÷a^{2} = a^{3}$
B.$(-1)^{0} = -1$
C.$2^{0} = 3^{0}$
D.$a^{0} = 1$
答案
C
解析
A. 根据同底数幂的除法法则，$a^{m} ÷ a^{n} = a^{m-n}$，所以 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{6-2} = a^{4}$，与选项A中的 $a^{6} ÷ a^{2} = a^{3}$ 不符，故A错误。
B. 任何非零数的0次幂都是1，即 $(-1)^{0} = 1$，与选项B中的 $(-1)^{0} = -1$ 不符，故B错误。
C. 根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都是1，所以 $2^{0} = 1$ 且 $3^{0} = 1$，因此 $2^{0} = 3^{0}$，故C正确。
D. $a^{0} = 1$ 仅在 $a \neq 0$ 的情况下成立，若$a=0$，则$0^0$无意义，故D错误。
B. 任何非零数的0次幂都是1，即 $(-1)^{0} = 1$，与选项B中的 $(-1)^{0} = -1$ 不符，故B错误。
C. 根据零指数幂的定义，任何非零数的0次幂都是1，所以 $2^{0} = 1$ 且 $3^{0} = 1$，因此 $2^{0} = 3^{0}$，故C正确。
D. $a^{0} = 1$ 仅在 $a \neq 0$ 的情况下成立，若$a=0$，则$0^0$无意义，故D错误。
2. 计算$(a^{2}b^{3})^{2}÷(ab^{2})$，结果是()。
A.$a^{3}b^{4}$
B.$ab^{4}$
C.$ab^{3}$
D.$a^{3}b^{3}$
A.$a^{3}b^{4}$
B.$ab^{4}$
C.$ab^{3}$
D.$a^{3}b^{3}$
答案
A
解析
$(a^{2}b^{3})^{2}÷(ab^{2})=a^{4}b^{6}÷ab^{2}=a^{3}b^{4}$
3. 已知$2^{m} = 64$，$2^{n} = 16$，$m$，$n$为正整数，则$2^{m - n} =$。
答案
4
解析
因为$2^{m}=64$，$2^{n}=16$，根据同底数幂的除法法则，$2^{m - n}=2^{m}÷2^{n}=64÷16=4$。
4. 计算：$(15x^{2}y - 10xy^{2})÷(5xy) =$。
答案
$3x - 2y$
解析
$(15x^{2}y - 10xy^{2})÷(5xy)$
$=15x^{2}y÷(5xy) - 10xy^{2}÷(5xy)$
$=3x - 2y$
$=15x^{2}y÷(5xy) - 10xy^{2}÷(5xy)$
$=3x - 2y$
5. 计算：
(1) $-6a^{2}b^{3}c÷(3ab)$；
(2) $(12xy^{2} - 8x^{2}y)÷(4xy)$。
(1) $-6a^{2}b^{3}c÷(3ab)$；
(2) $(12xy^{2} - 8x^{2}y)÷(4xy)$。
答案
(1) $-6a^{2}b^{3}c÷(3ab)$
$=(-6÷3)·(a^{2}÷a)·(b^{3}÷b)· c$
$=-2ab^{2}c$
(2) $(12xy^{2} - 8x^{2}y)÷(4xy)$
$=12xy^{2}÷(4xy) - 8x^{2}y÷(4xy)$
$=3y - 2x$
$=(-6÷3)·(a^{2}÷a)·(b^{3}÷b)· c$
$=-2ab^{2}c$
(2) $(12xy^{2} - 8x^{2}y)÷(4xy)$
$=12xy^{2}÷(4xy) - 8x^{2}y÷(4xy)$
$=3y - 2x$
1. (2024昆明五华区期末)下列计算中，正确的是()。
A.$x^{2}·x^{5} = x^{10}$
B.$(-x^{3})^{4} = -x^{8}$
C.$(-xy^{2})^{3} = -x^{3}y^{5}$
D.$x^{5}÷x^{3} = x^{2}$
A.$x^{2}·x^{5} = x^{10}$
B.$(-x^{3})^{4} = -x^{8}$
C.$(-xy^{2})^{3} = -x^{3}y^{5}$
D.$x^{5}÷x^{3} = x^{2}$
答案
D
解析
A. 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，$x^{2}· x^{5}=x^{2 + 5}=x^{7}\neq x^{10}$，所以A选项错误。
B. 根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$( - x^{3})^{4}=(-1)^{4}×(x^{3})^{4}=x^{12}\neq - x^{8}$，所以B选项错误。
C. 根据积的乘方法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，$( - xy^{2})^{3}=(-1)^{3}× x^{3}×(y^{2})^{3}=-x^{3}y^{6}\neq - x^{3}y^{5}$，所以C选项错误。
D. 根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，$x^{5}÷ x^{3}=x^{5 - 3}=x^{2}$，所以D选项正确。
B. 根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，$( - x^{3})^{4}=(-1)^{4}×(x^{3})^{4}=x^{12}\neq - x^{8}$，所以B选项错误。
C. 根据积的乘方法则，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，$( - xy^{2})^{3}=(-1)^{3}× x^{3}×(y^{2})^{3}=-x^{3}y^{6}\neq - x^{3}y^{5}$，所以C选项错误。
D. 根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，$x^{5}÷ x^{3}=x^{5 - 3}=x^{2}$，所以D选项正确。
2. 计算$(a^{3})^{2}÷a^{2}$，结果是()。
A.$a^{3}$
B.$a^{4}$
C.$a^{7}$
D.$a^{8}$
A.$a^{3}$
B.$a^{4}$
C.$a^{7}$
D.$a^{8}$
答案
B
解析
根据幂的乘方运算法则，有$(a^{m})^{n}=a^{mn}$，所以$(a^{3})^{2}=a^{3×2}=a^{6}$。
根据同底数幂的除法运算法则，有$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$为实数$)$，所以$a^{6}÷ a^{2}=a^{6 - 2}=a^{4}$。
根据同底数幂的除法运算法则，有$a^{m}÷ a^{n}=a^{m - n}(a\neq0,m,n$为实数$)$，所以$a^{6}÷ a^{2}=a^{6 - 2}=a^{4}$。
3. 计算$(-a)^{3}÷(-a^{2})$，结果是。
答案
a
解析
根据幂的乘方运算，$(-a)^{3} = (-1)^{3} × a^{3} = -a^{3}$。
根据单项式除以单项式的运算法则，将系数与同底数幂分别相除，
即：$\frac{-a^{3}}{-a^{2}} = \frac{-1}{-1} × \frac{a^{3}}{a^{2}} = a$。
根据单项式除以单项式的运算法则，将系数与同底数幂分别相除，
即：$\frac{-a^{3}}{-a^{2}} = \frac{-1}{-1} × \frac{a^{3}}{a^{2}} = a$。
4. 下列各数中，最大的数是()。
A.$-( + 2)$
B.$|-3|$
C.$-1^{2}$
D.$(-2)^{0}$
A.$-( + 2)$
B.$|-3|$
C.$-1^{2}$
D.$(-2)^{0}$
答案
B
解析
分别计算各选项：
A. $-(+2) = -2$；
B. $|-3| = 3$；
C. $-1^2 = -1$；
D. $(-2)^0 = 1$。
比较大小：$3 ＞ 1 ＞ -1 ＞ -2$，最大的数是B选项。
A. $-(+2) = -2$；
B. $|-3| = 3$；
C. $-1^2 = -1$；
D. $(-2)^0 = 1$。
比较大小：$3 ＞ 1 ＞ -1 ＞ -2$，最大的数是B选项。
5. (1) 计算：$(π - 3)^{0} =$；
(2) 如果$(x - 5)^{0} = 1$，那么$x$的取值范围是。
(2) 如果$(x - 5)^{0} = 1$，那么$x$的取值范围是。
答案
(1) 1
(2) $x \neq 5$
(2) $x \neq 5$
解析
(1) 根据零指数幂的定义，任何非零数的零次幂都等于1。因为$π - 3 \neq 0$，
所以，$(π - 3)^{0} = 1$；
(2) 同样根据零指数幂的定义，底数不能为0。
因此，为了使$(x - 5)^{0} = 1$成立，必须有$x - 5 \neq 0$，
解得$x \neq 5$，
即$x$的取值范围是$x \neq 5$。
所以，$(π - 3)^{0} = 1$；
(2) 同样根据零指数幂的定义，底数不能为0。
因此，为了使$(x - 5)^{0} = 1$成立，必须有$x - 5 \neq 0$，
解得$x \neq 5$，
即$x$的取值范围是$x \neq 5$。
